Calcule as seguintes integrais: integral[x^4+2x^2+1] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos trabalhando com o cálculo integral, mais especificamente com a integração de frações algébricas. Para resolver, vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo do denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial de x^4 + 2 - (x^2)(x^2 + 1) = x^4 + 2 - x^4 - x^2 = -x^2 + 2 por integral ( x^2 + -x^2 + 2x^2 + 1 ) dx . Isso porque o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (2), e dividir ajuda a simplificar a fração.
Dividindo por , obtemos . Multiplicamos por e subtraímos do numerador:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
integral x^2 , dx + integral -x^2 + 2x^2 + 1 , dx
Começamos calculando a primeira integral:
integral x^2 , dx = x^33 + C

Passo 4

Focando na segunda integral -x^2 + 2x^2 + 1 = -1 + 3x^2 + 1 , podemos simplificar o numerador:
integral ( -1 + 3x^2 + 1 ) dx = -x + 3 arctan(x) + C
Então, a integral fica:

Resposta

A integral de x^33 - x + 3, arctan(x) + C em relação a é:

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