Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
G 21. Consider the initial value problem
a. Determine how the behavior of the solution as
increases depends on the initial value
.
G 21. Consider the initial value problem
Passo 1
Então, a gente tem um problema de valor inicial:
A gente precisa descobrir como a solução dessa equação se comporta conforme o tempo
aumenta, dependendo do valor inicial
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de estabilidade para entender isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de equilíbrio da equação. São os valores de
que fazem
. Então, igualamos a derivada a zero:
Isso acontece quando
ou
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece entre esses pontos de equilíbrio. Observe que o sinal de
depende de
,
, e
. Como estamos interessados no comportamento conforme
aumenta (ou seja,
), podemos simplificar a análise focando em como
se comporta:
- Se
, então é negativo, então é negativo. Isso significa que vai diminuir. - Se
, então é positivo, então é positivo. Isso significa que vai aumentar. - Se
ou , , então permanece constante.
Passo 4
Vamos ver como o valor inicial
afeta o comportamento:
- Se
: A solução é constante, para todo . - Se
: A solução também é constante, para todo . - Se
: Como , vai aumentando até se aproximar de 4 conforme aumenta. - Se
: Como , vai diminuindo até se aproximar de 4 conforme aumenta.
Passo 5
Resumindo, o comportamento da solução depende se o valor inicial
está abaixo, igual ou acima de 4:
-
: vai se afastar de 0, mas como isso não é típico em contextos físicos sem mais informações, geralmente consideramos entre 0 e 4. -
: aumenta até 4. -
ou : Solução constante. -
: diminui até 4.
Resposta
À medida que
aumenta, a solução
tende para 4 se o valor inicial
for diferente de 0 ou 4. Se
estiver entre 0 e 4,
aumenta até 4; se
,
diminui até 4. Se
ou
, a solução permanece constante nesses valores.
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine algebricamente os pontos nos quais
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
G 22. Consider the initial value problem
G 22. Consider the initial value problem
c. Find the range of initial values for which the solution lies in the interval
by the time
.