Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
G 21. Consider the initial value problem
a. Determine how the behavior of the solution as increases depends on the initial value .

Passo 1

Então, a gente tem um problema de valor inicial:
A gente precisa descobrir como a solução dessa equação se comporta conforme o tempo aumenta, dependendo do valor inicial . Vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de estabilidade para entender isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de equilíbrio da equação. São os valores de que fazem . Então, igualamos a derivada a zero:
Isso acontece quando ou .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece entre esses pontos de equilíbrio. Observe que o sinal de depende de , , e . Como estamos interessados no comportamento conforme aumenta (ou seja, ), podemos simplificar a análise focando em como se comporta:
  • Se , então é negativo, então é negativo. Isso significa que vai diminuir.
  • Se , então é positivo, então é positivo. Isso significa que vai aumentar.
  • Se ou , , então permanece constante.

Passo 4

Vamos ver como o valor inicial afeta o comportamento:
  • Se : A solução é constante, para todo .
  • Se : A solução também é constante, para todo .
  • Se : Como , vai aumentando até se aproximar de 4 conforme aumenta.
  • Se : Como , vai diminuindo até se aproximar de 4 conforme aumenta.

Passo 5

Resumindo, o comportamento da solução depende se o valor inicial está abaixo, igual ou acima de 4:
  • : vai se afastar de 0, mas como isso não é típico em contextos físicos sem mais informações, geralmente consideramos entre 0 e 4.
  • : aumenta até 4.
  • ou : Solução constante.
  • : diminui até 4.

Resposta

À medida que aumenta, a solução tende para 4 se o valor inicial for diferente de 0 ou 4. Se estiver entre 0 e 4, aumenta até 4; se , diminui até 4. Se ou , a solução permanece constante nesses valores.

Exercícios relacionados

Dada a função , determine algebricamente os pontos nos quais
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
G 22. Consider the initial value problem
c. Find the range of initial values for which the solution lies in the interval by the time .