Calcule as seguintes integrais iteradas:
(Dica: pode ser que ao inverter a ordem de integração fique mais fácil)
integral0^1 integralx^2^x e^y / x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla, que é tipo uma integral dentro de outra. A integral dada é:
integral0^1 integralx^2^x e^yx , dy , dx
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até . A dica sugere que inverter a ordem de integração pode facilitar, então vamos seguir essa ideia. Para isso, precisamos entender a região de integração e reescrever os limites de forma inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . Sabemos que vai de 0 a 1. Para cada , vai de até . Se desenharmos essas curvas:
  • é uma parábola que abre para cima.
  • é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
Entre e , a parábola está abaixo da reta. Então, a região de integração está entre essas duas curvas.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que primeiro vamos fixar integral0^1 integralraizy^y e^yx , dx , dy e depois determinar os limites para . Olhando para a região:
  • varia de 0 até 1 (pois quando ).
  • Para um valor fixo de , varia de até . Isso porque implica , e implica .
Então, a integral com a ordem invertida fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que agora é em relação a integralraizy^y e^yx , dx :
Aqui, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar , então , ou seja, . Mas isso complica um pouco, então vamos tentar outra abordagem.
Observando que a expressão não tem uma antiderivada simples em termos de , percebemos que precisamos seguir outro caminho ou reconhecer que a integral pode ser complexa demais para métodos elementares.

Passo 5

Retornando à integral original, talvez seja melhor seguir com a ordem inicial e tentar outra técnica. Vamos reconsiderar:
integral0^1 integralx^2^x e^yx , dy , dx
Aqui, podemos fazer a substituição integral0^1 integralx^1 e^u cdot x , du , dx , então e . Isso simplifica a integral interna:
Agora, a integral interna com respeito a é fácil de calcular.

Resposta

A integral dupla calcula o valor .

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