Calcule as seguintes integrais iteradas:
(Dica: pode ser que ao inverter a ordem de integração fique mais fácil)
(Dica: pode ser que ao inverter a ordem de integração fique mais fácil)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla, que é tipo uma integral dentro de outra. A integral dada é:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até
. A dica sugere que inverter a ordem de integração pode facilitar, então vamos seguir essa ideia. Para isso, precisamos entender a região de integração e reescrever os limites de forma inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. Sabemos que
vai de 0 a 1. Para cada
,
vai de
até
. Se desenharmos essas curvas:
-
é uma parábola que abre para cima. -
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
Entre
e
, a parábola está abaixo da reta. Então, a região de integração está entre essas duas curvas.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que primeiro vamos fixar
e depois determinar os limites para
. Olhando para a região:
-
varia de 0 até 1 (pois quando dá ). - Para um valor fixo de
, varia de até . Isso porque implica , e implica .
Então, a integral com a ordem invertida fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que agora é em relação a
:
Aqui, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar
, então
, ou seja,
. Mas isso complica um pouco, então vamos tentar outra abordagem.
Observando que a expressão
não tem uma antiderivada simples em termos de
, percebemos que precisamos seguir outro caminho ou reconhecer que a integral pode ser complexa demais para métodos elementares.
Passo 5
Retornando à integral original, talvez seja melhor seguir com a ordem inicial e tentar outra técnica. Vamos reconsiderar:
Aqui, podemos fazer a substituição
, então
e
. Isso simplifica a integral interna:
Agora, a integral interna com respeito a
é fácil de calcular.
Resposta
A integral dupla calcula o valor
.