Sabendo que , nessa ordem, estão simultaneamente em PA e PG, calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três termos: 2, , e . Esses termos estão organizados de tal forma que formam, ao mesmo tempo, uma Progressão Aritmética (PA) e uma Progressão Geométrica (PG). Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Para isso, vamos precisar lembrar como funcionam PA e PG e montar algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Progressão Aritmética (PA). Em uma PA, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Então, para os termos 2, , e formarem uma PA, a diferença entre e 2 deve ser igual à diferença entre e . Isso nos dá a primeira equação:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para simplificar. Somando dos dois lados:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos lembrar o que é uma Progressão Geométrica (PG). Em uma PG, a razão entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Então, a razão entre e 2 deve ser igual à razão entre e . Isso nos dá a segunda equação:

Passo 5

Vamos resolver essa segunda equação. Multiplicando cruzado:

Passo 6

Agora temos duas equações:
Vamos substituir a primeira equação na segunda para eliminar :

Passo 7

Simplificando a equação:
Leve tudo para um lado da equação:

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática em . Vamos resolver:
Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 9

Então, . Para encontrar , lembramos que o logaritmo na base 10 de é 2, ou seja:

Passo 10

Agora que sabemos que , podemos encontrar usando a primeira equação:
Logo:

Resposta

e .

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