Sabendo que
, nessa ordem, estão simultaneamente em PA e PG, calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três termos: 2,
, e
. Esses termos estão organizados de tal forma que formam, ao mesmo tempo, uma Progressão Aritmética (PA) e uma Progressão Geométrica (PG). Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
. Para isso, vamos precisar lembrar como funcionam PA e PG e montar algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Progressão Aritmética (PA). Em uma PA, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Então, para os termos 2,
, e
formarem uma PA, a diferença entre
e 2 deve ser igual à diferença entre
e
. Isso nos dá a primeira equação:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para simplificar. Somando
dos dois lados:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos lembrar o que é uma Progressão Geométrica (PG). Em uma PG, a razão entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Então, a razão entre
e 2 deve ser igual à razão entre
e
. Isso nos dá a segunda equação:
Passo 5
Vamos resolver essa segunda equação. Multiplicando cruzado:
Passo 6
Agora temos duas equações:
Vamos substituir a primeira equação na segunda para eliminar
:
Passo 7
Simplificando a equação:
Leve tudo para um lado da equação:
Passo 8
Agora, temos uma equação quadrática em
. Vamos resolver:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 9
Então,
. Para encontrar
, lembramos que o logaritmo na base 10 de
é 2, ou seja:
Passo 10
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
usando a primeira equação:
Logo:
Resposta
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a)
b)
c)
d)
e) .
a)
b)
c)
d)
e)
Qual o próximo valor na sequência
?
A equação
tem raízes inteiras. Qual é o maior valor possível para
?