Calcule as seguintes integrais iteradas:
(Dica: pode ser que ao inverter a ordem de integração fique mais fácil)
integral0^1 integral0^|x| d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais iteradas. A dica manda a gente trocar a ordem de integração, então isso vai ajudar a simplificar a parada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. Como estamos integrando de integral0^1 integral0^x dy , dx até e vai de 0 a 1, a expressão é igual a nesse intervalo porque é positivo. Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é integral0^x dy = y |0^x = x - 0 = x . Integrar de 0 a é bem simples:

Passo 4

Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral 12x^2 |0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12 - 0 = 12 . A integral de em relação a é :

Resposta

A integral dupla vale .

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