Calcule as seguintes integrais iteradas:
(Dica: pode ser que ao inverter a ordem de integração fique mais fácil)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais iteradas. A dica manda a gente trocar a ordem de integração, então isso vai ajudar a simplificar a parada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. Como estamos integrando de até e vai de 0 a 1, a expressão é igual a nesse intervalo porque é positivo. Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é . Integrar de 0 a é bem simples:

Passo 4

Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . A integral de em relação a é :

Resposta

A integral dupla vale .

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Se tem derivadas parciais de ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace , ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas:
a)
b)
c)
Considere a fórmula matemática . Sabendo que e . qual o valor de V?
Biólogos descobriram que o número de sons emitidos por minuto de uma certa espécie de grilos está relacionado com a temperatura. A relação é quase linear. A , os grilos emitem cerca de 124 sons por minuto. A , emitem 172 sons por minuto. Encontre a equação que relaciona a temperatura, em Fahrenheit , e o número de sons .
(FGV-SP) Os gastos de consumo de uma família e sua renda são tais que . Podemos então afirmar que:
a) Se a renda aumenta em 500, o consumo aumenta em 500.
b) Se a renda diminui em 500, o consumo diminui em 500.
c) Se a renda aumenta em 1000, o consumo aumenta em 800.
d) Se a renda diminui em 1000, o consumo aumenta em 2800.
e) Se a renda dobra, o consumo dobra.