Se
tem derivadas parciais de
ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace
, ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três funções e precisa verificar se elas são funções harmônicas. Função harmônica é aquela que satisfaz a equação de Laplace, que é:
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de cada função em relação a
e
, somar essas derivadas e ver se dá zero.
Passo 2
Função a)
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de segunda ordem em relação a
: -
Derivada de
em relação a : -
Derivada de segunda ordem em relação a
:
Agora, somamos as duas derivadas de segunda ordem:
Como a soma é zero, a função a) é harmônica.
Passo 3
Função b)
Vamos calcular as derivadas:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de segunda ordem em relação a
: -
Derivada de
em relação a : -
Derivada de segunda ordem em relação a
:
Somando as derivadas de segunda ordem:
Como a soma não é zero, a função b) não é harmônica.
Passo 4
Função c)
Vamos às derivadas:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de segunda ordem em relação a
: -
Derivada de
em relação a : -
Derivada de segunda ordem em relação a
:
Somando as derivadas de segunda ordem:
Como a soma é zero, a função c) é harmônica.
Resposta
As funções a)
e c)
são harmônicas, enquanto a função b)
não é harmônica.