Se tem derivadas parciais de ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace , ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas: a) b) c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções e precisa verificar se elas são **funções harmônicas**. Função harmônica é aquela que satisfaz a **equação de Laplace**, que é: Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de cada função em relação a e , somar essas derivadas e ver se dá zero.

Passo 2

**Função a)** Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais: 1. Derivada de em relação a : 2. Derivada de segunda ordem em relação a : 3. Derivada de em relação a : 4. Derivada de segunda ordem em relação a : Agora, somamos as duas derivadas de segunda ordem: Como a soma é zero, a função **a)** é harmônica.

Passo 3

**Função b)** Vamos calcular as derivadas: 1. Derivada de em relação a : 2. Derivada de segunda ordem em relação a : 3. Derivada de em relação a : 4. Derivada de segunda ordem em relação a : Somando as derivadas de segunda ordem: Como a soma não é zero, a função **b)** **não** é harmônica.

Passo 4

**Função c)** Vamos às derivadas: 1. Derivada de em relação a : 2. Derivada de segunda ordem em relação a : 3. Derivada de em relação a : 4. Derivada de segunda ordem em relação a : Somando as derivadas de segunda ordem: Como a soma é zero, a função **c)** é harmônica.

Resposta

As funções **a)** e **c)** são harmônicas, enquanto a função **b)** não é harmônica.

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