Se z=f(x, y) tem derivadas parciais de 2^a ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0, ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas:
a) z=y^3-3 x^2 y
b) z=x^2+2 x y
c) z=e^x cos y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções e precisa verificar se elas são funções harmônicas. Função harmônica é aquela que satisfaz a equação de Laplace, que é:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de cada função em relação a e , somar essas derivadas e ver se dá zero.

Passo 2

Função a)
partial zpartial x = -6xy
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada de partial^2 zpartial x^2 = -6y em relação a partial zpartial y = 3y^2 - 3x^2 :
    partial^2 zpartial y^2 = 6y
  2. Derivada de segunda ordem em relação a partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = -6y + 6y = 0 :
  3. Derivada de em relação a :
  4. Derivada de segunda ordem em relação a :
Agora, somamos as duas derivadas de segunda ordem:
Como a soma é zero, a função a) é harmônica.

Passo 3

Função b)
partial zpartial x = 2x + 2y
Vamos calcular as derivadas:
  1. Derivada de partial^2 zpartial x^2 = 2 em relação a partial zpartial y = 2x :
    partial^2 zpartial y^2 = 0
  2. Derivada de segunda ordem em relação a partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 2 + 0 = 2 neq 0 :
  3. Derivada de em relação a :
  4. Derivada de segunda ordem em relação a :
Somando as derivadas de segunda ordem:
Como a soma não é zero, a função b) não é harmônica.

Passo 4

Função c)
partial zpartial x = e^x cos y
Vamos às derivadas:
  1. Derivada de partial^2 zpartial x^2 = e^x cos y em relação a partial zpartial y = -e^x sin y :
    partial^2 zpartial y^2 = -e^x cos y
  2. Derivada de segunda ordem em relação a partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = e^x cos y - e^x cos y = 0 :
  3. Derivada de em relação a :
  4. Derivada de segunda ordem em relação a :
Somando as derivadas de segunda ordem:
Como a soma é zero, a função c) é harmônica.

Resposta

As funções a) e c) são harmônicas, enquanto a função b) não é harmônica.

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