Se tem derivadas parciais de ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace , ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas:
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três funções e precisa verificar se elas são **funções harmônicas**. Função harmônica é aquela que satisfaz a **equação de Laplace**, que é:
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de cada função em relação a e , somar essas derivadas e ver se dá zero.
Passo 2
**Função a)**
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais:
1. Derivada de em relação a :
2. Derivada de segunda ordem em relação a :
3. Derivada de em relação a :
4. Derivada de segunda ordem em relação a :
Agora, somamos as duas derivadas de segunda ordem:
Como a soma é zero, a função **a)** é harmônica.
Passo 3
**Função b)**
Vamos calcular as derivadas:
1. Derivada de em relação a :
2. Derivada de segunda ordem em relação a :
3. Derivada de em relação a :
4. Derivada de segunda ordem em relação a :
Somando as derivadas de segunda ordem:
Como a soma não é zero, a função **b)** **não** é harmônica.
Passo 4
**Função c)**
Vamos às derivadas:
1. Derivada de em relação a :
2. Derivada de segunda ordem em relação a :
3. Derivada de em relação a :
4. Derivada de segunda ordem em relação a :
Somando as derivadas de segunda ordem:
Como a soma é zero, a função **c)** é harmônica.
Resposta
As funções **a)** e **c)** são harmônicas, enquanto a função **b)** não é harmônica.
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