Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(e)
, para um contorno C sobre o círculo:
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
ao longo de um contorno C, que é um círculo de raio 3 no plano complexo, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas fechadas usando os resíduos das singularidades dentro do contorno.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as singularidades (pontos onde a função não é analítica) da nossa função
. As singularidades ocorrem quando o denominador é zero:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essas singularidades estão dentro do nosso contorno
.
- Para
: , então está dentro. - Para
: , também está dentro.
Então, ambas as singularidades estão dentro do contorno.
Passo 4
O próximo passo é calcular os resíduos dessas singularidades. O resíduo é basicamente o coeficiente de
na expansão em série de Laurent da função em torno da singularidade
.
Para funções racionais simples como a nossa, o resíduo em
pode ser encontrado pela fórmula:
Passo 5
Vamos calcular o resíduo em
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o resíduo em
:
Passo 7
Com os resíduos calculados, aplicamos o Teorema dos Resíduos que diz:
onde a soma é sobre todas as singularidades dentro do contorno.
Passo 8
Vamos somar os resíduos:
Passo 9
Finalmente, aplicamos o teorema:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(b) , para um contorno C sobre o círculo:
.
(b)
Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
(b)
(b)
Inverta a ordem de integração.
(b)
(b)
Inverta a ordem de integração.
(g)
(g)