Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(e) oint e^z d zz(z+2), para um contorno C sobre o círculo: |z|=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de e^zz(z+2) ao longo de um contorno C, que é um círculo de raio 3 no plano complexo, ou seja, |z| = 3. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas fechadas usando os resíduos das singularidades dentro do contorno.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as singularidades (pontos onde a função não é analítica) da nossa função e^zz(z+2). As singularidades ocorrem quando o denominador é zero:
  • z = 0
  • z = -2

Passo 3

Agora, vamos verificar se essas singularidades estão dentro do nosso contorno |z| = 3.
  • Para z = 0: |0| = 0 < 3, então está dentro.
  • Para z = -2: |-2| = 2 < 3, também está dentro.
Então, ambas as singularidades estão dentro do contorno.

Passo 4

O próximo passo é calcular os resíduos dessas singularidades. O resíduo é basicamente o coeficiente de 1z - z0 na expansão em série de Laurent da função em torno da singularidade z0.
Para funções racionais simples como a nossa, o resíduo em z = z0 pode ser encontrado pela fórmula:
Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0)f(z)

Passo 5

Vamos calcular o resíduo em z = 0:
Res(e^zz(z+2), 0) = limz to 0 z cdot e^zz(z+2) = limz to 0 e^zz + 2 = e^00 + 2 = 12

Passo 6

Agora, vamos calcular o resíduo em z = -2:
Res(e^zz(z+2), -2) = limz to -2 (z + 2) cdot e^zz(z+2) = limz to -2 e^zz = e^-2-2 = -e^-22

Passo 7

Com os resíduos calculados, aplicamos o Teorema dos Resíduos que diz:
ointC f(z) , dz = 2pi i sum Res(f, zk)
onde a soma é sobre todas as singularidades dentro do contorno.

Passo 8

Vamos somar os resíduos:
Res(f, 0) + Res(f, -2) = 12 - e^-22 = 1 - e^-22

Passo 9

Finalmente, aplicamos o teorema:
ointC e^zz(z+2) , dz = 2pi i (1 - e^-22) = pi i (1 - e^-2)

Resposta

A integral é igual a pi i (1 - e^-2).

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