Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(e) , para um contorno C sobre o círculo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de ao longo de um contorno C, que é um círculo de raio 3 no plano complexo, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas fechadas usando os resíduos das singularidades dentro do contorno.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as singularidades (pontos onde a função não é analítica) da nossa função . As singularidades ocorrem quando o denominador é zero:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essas singularidades estão dentro do nosso contorno .
  • Para : , então está dentro.
  • Para : , também está dentro.
Então, ambas as singularidades estão dentro do contorno.

Passo 4

O próximo passo é calcular os resíduos dessas singularidades. O resíduo é basicamente o coeficiente de na expansão em série de Laurent da função em torno da singularidade .
Para funções racionais simples como a nossa, o resíduo em pode ser encontrado pela fórmula:

Passo 5

Vamos calcular o resíduo em :

Passo 6

Agora, vamos calcular o resíduo em :

Passo 7

Com os resíduos calculados, aplicamos o Teorema dos Resíduos que diz:
onde a soma é sobre todas as singularidades dentro do contorno.

Passo 8

Vamos somar os resíduos:

Passo 9

Finalmente, aplicamos o teorema:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(b) , para um contorno C sobre o círculo: .
Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
(b)
Inverta a ordem de integração.
(b)
Inverta a ordem de integração.
(g)