Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo [0, 1]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva. Aqui, a curva
é o gráfico da função
no intervalo de
de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha que envolve o comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
, podemos usar
como nosso parâmetro. Então, temos:
onde
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial do comprimento de arco
. A fórmula para
em termos de
é:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Substituindo tudo na integral de linha, temos:
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Mudando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Passo 6
Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar
:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Calculando
:
Então,
Resposta
O valor da integral de linha é:
Exercícios relacionados
Seja
una função par. Mostre que
onde
é o gráfico de
no intervalo
.
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo
Resolva o problema de contorno
e
.
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo