Calcule as seguintes integrais de linha.
integralC x(1+4 y) d s, onde C é o grafico da função y=x^2 no intervalo [0, 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva. Aqui, a curva é o gráfico da função no intervalo de de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha que envolve o comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = t e y = t^2 . Como , podemos usar como nosso parâmetro. Então, temos:
onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial do comprimento de arco ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt . A fórmula para dxdt = 1 e dydt = 2t em termos de ds = raiz1 + (2t)^2 , dt = raiz1 + 4t^2 , dt é:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Substituindo tudo na integral de linha, temos:
integralC x(1 + 4y) , ds = integral0^1 t (1 + 4t^2) raiz1 + 4t^2 , dt
Simplificando dentro da integral:
t(1 + 4t^2)raiz1 + 4t^2 = t(1 + 4t^2)^3/2
Então, a integral fica:
integral0^1 t(1 + 4t^2)^3/2 , dt

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
u = 1 + 4t^2
Então, a derivada de dudt = 8t Rightarrow t , dt = du8 em relação a é:
Mudando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 6

Substituindo na integral:
integral0^1 t(1 + 4t^2)^3/2 , dt = integral1^5 u^3/28 , du = 18 integral1^5 u^3/2 , du
Agora, vamos integrar integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 + C :

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
18 [ 25 u^5/2 ]1^5 = 18 cdot 25 (5^5/2 - 1^5/2) = 120 (5^5/2 - 1)
Calculando 5^5/2 = (raiz5)^5 = 5^2 cdot raiz5 = 25raiz5 :
120 (25raiz5 - 1) = 25raiz5 - 120
Então,

Resposta

O valor da integral de linha é:
25raiz5 - 120

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