Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo [0, 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva. Aqui, a curva é o gráfico da função no intervalo de de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha que envolve o comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como , podemos usar como nosso parâmetro. Então, temos:
onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial do comprimento de arco . A fórmula para em termos de é:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Substituindo tudo na integral de linha, temos:
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
Então, a derivada de em relação a é:
Mudando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 6

Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar :

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Calculando :
Então,

Resposta

O valor da integral de linha é:

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Seja una função par. Mostre que
onde é o gráfico de no intervalo .
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo
Resolva o problema de contorno e .
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo