Calcule as seguintes integrais de linha. , onde é o grafico da função no intervalo
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma integral de linha aqui. O enunciado pede para calcular , onde é o gráfico da função no intervalo . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como parametrização de curvas e diferenciais de arco. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é o gráfico de de até , podemos usar como nosso parâmetro. Então, nossa parametrização fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão para , que é o diferencial de arco. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos na integral original:
Essa é a forma que temos que trabalhar para calcular a integral.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão . Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Então, a derivada de em relação a é:
Precisamos ajustar nossa integral para essa substituição.
Passo 7
Observando a integral, temos . Vamos reescrever:
Usando a substituição e , a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a . Fazemos mais uma substituição:
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando :
Voltando para :
Passo 10
Agora, precisamos avaliar a integral definida de a . Usando os limites de para encontrar os limites de :