Calcule as seguintes integrais de linha.
integralC sen(2 x) d s, onde C é o grafico da função y=sen x no intervalo [0, pi / 2]

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma integral de linha aqui. O enunciado pede para calcular , onde é o gráfico da função no intervalo . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como parametrização de curvas e diferenciais de arco. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva r(x) = (x, sin(x)), para x in [0, pi/2] . Como é o gráfico de de até , podemos usar como nosso parâmetro. Então, nossa parametrização fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para ds = raiz(dxdx)^2 + (dydx)^2 , dx , que é o diferencial de arco. Para isso, usamos a fórmula:
dxdx = 1 e dydx = cos(x)
Calculando as derivadas:
ds = raiz1 + cos^2(x) , dx
Então:

Passo 4

Agora, substituímos integralC sin(2x) , ds = integral0^pi/2 sin(2x) raiz1 + cos^2(x) , dx na integral original:
Essa é a forma que temos que trabalhar para calcular a integral.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) . Sabemos pela identidade trigonométrica que:
integral0^pi/2 2 sin(x) cos(x) raiz1 + cos^2(x) , dx
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = cos(x)
Então, a derivada de dudx = -sin(x) Rightarrow -du = sin(x) , dx em relação a é:
Precisamos ajustar nossa integral para essa substituição.

Passo 7

Observando a integral, temos 2 cos(x) raiz1 + cos^2(x) cdot sin(x) , dx . Vamos reescrever:
-2 integral u raiz1 + u^2 , du
Usando a substituição e , a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar v = 1 + u^2 Rightarrow dv = 2u , du Rightarrow u , du = dv2 em relação a -2 integral u raizv cdot dv2 = -integral raizv , dv . Fazemos mais uma substituição:
Substituindo na integral:

Passo 9

Integrando - cdot 23 v^3/2 + C = -23 (1 + u^2)^3/2 + C :
-23 (1 + cos^2(x))^3/2 + C
Voltando para :

Passo 10

Agora, precisamos avaliar a integral definida de x = 0 Rightarrow u = cos(0) = 1 a x = pi/2 Rightarrow u = cos(pi2) = 0 . Usando os limites de -23 (1 + u^2)^3/2 g|1^0 para encontrar os limites de -23 [(1 + 0^2)^3/2 - (1 + 1^2)^3/2] = -23 [1 - 2^3/2] = 23 (2^3/2 - 1) :
Então, a integral fica:
Calculando:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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