Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma integral de linha aqui. O enunciado pede para calcular , onde é o gráfico da função no intervalo . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como parametrização de curvas e diferenciais de arco. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é o gráfico de de até , podemos usar como nosso parâmetro. Então, nossa parametrização fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para , que é o diferencial de arco. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
Essa é a forma que temos que trabalhar para calcular a integral.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão . Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Então, a derivada de em relação a é:
Precisamos ajustar nossa integral para essa substituição.

Passo 7

Observando a integral, temos . Vamos reescrever:
Usando a substituição e , a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a . Fazemos mais uma substituição:
Substituindo na integral:

Passo 9

Integrando :
Voltando para :

Passo 10

Agora, precisamos avaliar a integral definida de a . Usando os limites de para encontrar os limites de :
Então, a integral fica:
Calculando:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Calcule as seguintes integrais de linha.
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Mostre que e são linearmente independentes em . Mostre, também, que é zero em . O que você pode concluir sobre a possibilidade de e serem soluções de uma equação diferencial da forma ? Verifique que e são soluções da equação . Isso contradiz sua conclusão? O comportamento do wronskiano de e contradiz o Teorema de Abel?