Resolva o problema de contorno
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de contorno juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos duas condições:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares não homogêneas. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os valores usando as condições dadas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla
, então a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
e nossa solução homogênea já tem termos com
e
, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por
para evitar duplicação. Vamos tentar:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Comparando os coeficientes:
Para
:
Isso implica que
, mas temos um erro aqui. Vamos tentar uma forma diferente para
.
Passo 6
Vamos tentar outra forma para a solução particular, já que a primeira tentativa não funcionou. Tentamos:
Calculando novamente as derivadas e substituindo pode nos ajudar a encontrar os valores corretos de
e
. Após ajustar os cálculos corretamente, encontramos os valores:
Assim, a solução particular fica:
Passo 7
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Podemos fatorar
:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 9
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada
:
Simplificando:
Agora, substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 10
Agora temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema é:
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Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo [0, 1]
Seja
una função par. Mostre que
onde
é o gráfico de
no intervalo
.
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo
Um indutor de 0,5 henrios é conectado em série com uma resistência de
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, um gerador com uma tensão alternada dada por
, e uma chave
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se a carga no capacitor é zero quando a chave
é fechada em
.