Resolva o problema de contorno y'' - 2y' + y = t e^t, y(1) = 1 e y'(2) = e^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de contorno juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos duas condições:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares não homogêneas. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os valores usando as condições dadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla , então a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é e nossa solução homogênea já tem termos com e , precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por para evitar duplicação. Vamos tentar:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo , e na equação original:
Simplificando os termos:
Comparando os coeficientes:
Para :
Isso implica que , mas temos um erro aqui. Vamos tentar uma forma diferente para .

Passo 6

Vamos tentar outra forma para a solução particular, já que a primeira tentativa não funcionou. Tentamos:
Calculando novamente as derivadas e substituindo pode nos ajudar a encontrar os valores corretos de e . Após ajustar os cálculos corretamente, encontramos os valores:
Assim, a solução particular fica:

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Podemos fatorar :

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 9

Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada :
Simplificando:
Agora, substituindo e :
Simplificando:

Passo 10

Agora temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema é:

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