Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
, onde
é o gráfico da função
no intervalo
. Estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolve integrar uma função ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
e usar a fórmula da integral de linha para funções escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é o gráfico de
no intervalo
, podemos usar
como nosso parâmetro. Então, definimos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
, que representa um diferencial de arco na curva. A fórmula para
em termos do parâmetro
é:
Vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
. Então, calculamos
:
Substituindo na integral:
Calculando
e
:
Passo 7
Agora, integramos
em relação a
:
Passo 8
Simplificando a expressão final:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo
Mostre que a integral de linha
ao longo da curva
dada pelo gráfico da função
no intervalo
é
Seja
una função par. Mostre que
onde
é o gráfico de
no intervalo
.
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo [0, 1]