Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha , onde é o gráfico da função no intervalo . Estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolve integrar uma função ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha para funções escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é o gráfico de no intervalo , podemos usar como nosso parâmetro. Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para , que representa um diferencial de arco na curva. A fórmula para em termos do parâmetro é:
Vamos calcular e .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar . Então, calculamos :
Substituindo na integral:
Calculando e :

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Simplificando a expressão final:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo
Mostre que a integral de linha ao longo da curva dada pelo gráfico da função no intervalo é
Seja una função par. Mostre que
onde é o gráfico de no intervalo .
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo [0, 1]