Calcule as seguintes integrais de linha.
integralC y^2 d s, onde C é o grafico da função y=e^x no intervalo [0,1]

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralC y^2 d s, onde C é o gráfico da função y = e^x no intervalo [0,1]. Estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolve integrar uma função ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva C e usar a fórmula da integral de linha para funções escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é o gráfico de y = e^x no intervalo [0,1], podemos usar x como nosso parâmetro. Então, definimos:
x = t, y = e^t, onde t in [0,1]

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para d s, que representa um diferencial de arco na curva. A fórmula para d s em termos do parâmetro t é:
d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Vamos calcular dxdt e dydt.

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt(t) = 1
dydt = ddt(e^t) = e^t
Substituindo na expressão de d s:
d s = raiz1^2 + (e^t)^2 , dt = raiz1 + e^2t , dt

Passo 5

Agora, substituímos y e d s na integral original:
integralC y^2 d s = integral0^1 (e^t)^2 raiz1 + e^2t , dt = integral0^1 e^2t raiz1 + e^2t , dt

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar u = 1 + e^2t. Então, calculamos du:
du = 2 e^2t dt implies du2 = e^2t dt
Substituindo na integral:
integral0^1 e^2t raiz1 + e^2t , dt = 12 integralu(0)^u(1) raizu , du
Calculando u(0) e u(1):
u(0) = 1 + e^0 = 2
u(1) = 1 + e^2

Passo 7

Agora, integramos raizu em relação a u:
12 integral2^1 + e^2 u^1/2 , du = 12 [ 23 u^3/2 ]2^1 + e^2 = 13 ( (1 + e^2)^3/2 - 2^3/2 )

Passo 8

Simplificando a expressão final:
13 ( (1 + e^2)^3/2 - 2raiz2 )

Resposta

A integral de linha integralC y^2 d s é igual a 13 ( (1 + e^2)^3/2 - 2raiz2 ).

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