Seja una função par. Mostre que
onde é o gráfico de no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a integral de em relação ao comprimento de arco ao longo do gráfico de uma função par no intervalo de a é igual a zero. Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente integração envolvendo funções pares e propriedades de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função par. Uma função é par se para todo no domínio. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é . O elemento de comprimento de arco para uma função é dado pela fórmula:
Isso representa um pequeno segmento de comprimento no gráfico da função.

Passo 4

A integral que precisamos calcular é:
Onde é o caminho do gráfico de de a .

Passo 5

Vamos analisar a função integranda . Note que:
  • é uma função ímpar, pois .
  • é uma função par porque é par, então , mas ao quadrado fica par.
Multiplicando uma função ímpar por uma função par resulta em uma função ímpar.

Passo 6

A propriedade importante aqui é que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Ou seja:
çãí

Passo 7

Como mostramos que é uma função ímpar e o intervalo de integração é simétrico ( a ), podemos concluir que:

Resposta

Portanto, .

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Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo [0, 1]
Resolva o problema de contorno e .