Seja
una função par. Mostre que
onde
é o gráfico de
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a integral de
em relação ao comprimento de arco
ao longo do gráfico de uma função par
no intervalo de
a
é igual a zero. Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente integração envolvendo funções pares e propriedades de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função par. Uma função
é par se
para todo
no domínio. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é
. O elemento de comprimento de arco
para uma função
é dado pela fórmula:
Isso representa um pequeno segmento de comprimento no gráfico da função.
Passo 4
A integral que precisamos calcular é:
Onde
é o caminho do gráfico de
de
a
.
Passo 5
Vamos analisar a função integranda
. Note que:
-
é uma função ímpar, pois . -
é uma função par porque é par, então , mas ao quadrado fica par.
Multiplicando uma função ímpar por uma função par resulta em uma função ímpar.
Passo 6
A propriedade importante aqui é que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Ou seja:
Passo 7
Como mostramos que
é uma função ímpar e o intervalo de integração é simétrico (
a
), podemos concluir que:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo [0, 1]
Resolva o problema de contorno
e
.