Seja y=g(x) una função par. Mostre que
integralC x d s=0
onde C é o gráfico de g no intervalo [-a, a].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a integral de em relação ao comprimento de arco ao longo do gráfico de uma função par no intervalo de a é igual a zero. Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente integração envolvendo funções pares e propriedades de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função par. Uma função é par se para todo no domínio. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é ds = raiz1 + ( dydx )^2 dx . O elemento de comprimento de arco para uma função é dado pela fórmula:
Isso representa um pequeno segmento de comprimento no gráfico da função.

Passo 4

A integral que precisamos calcular é:
integralC x , ds = integral-a^a x raiz1 + ( g'(x) )^2 dx
Onde é o caminho do gráfico de de a .

Passo 5

Vamos analisar a função integranda . Note que:
  • é uma função ímpar, pois .
  • é uma função par porque é par, então , mas ao quadrado fica par.
Multiplicando uma função ímpar por uma função par resulta em uma função ímpar.

Passo 6

A propriedade importante aqui é que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Ou seja:
integral-a^a função ímpar , dx = 0 çãí

Passo 7

Como mostramos que integral-a^a x raiz1 + ( g'(x) )^2 dx = 0 é uma função ímpar e o intervalo de integração é simétrico ( a ), podemos concluir que:

Resposta

Portanto, .

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