Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Passo 1
Então, a gente tem que calcular uma integral de linha. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde a gente integra funções ao longo de curvas no espaço. A integral que a gente vai resolver é
, onde a curva
é definida por
para
entre 0 e 1. Vamos precisar parametrizar a curva, expressar
em termos de
e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. A curva está definida por
. Isso significa que:
Vamos usar essa parametrização para expressar todos os componentes da integral em termos de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
:
O comprimento do vetor derivada é dado por:
Então, temos que:
Passo 4
Vamos substituir todas as expressões na integral original:
Sabendo que
e
, e substituindo
:
Como
, simplificamos para:
Passo 5
Para resolver a integral
, podemos usar uma substituição. Vamos deixar
, então:
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando a
:
Agora, aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
A integral vale
.
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Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
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Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais: