Calcule as seguintes integrais de linha.
integralC x cos z d s, onde C: r(t)=(t, t^2, 0), t in[0,1]

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral de linha. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde a gente integra funções ao longo de curvas no espaço. A integral que a gente vai resolver é integralC x cos z , ds, onde a curva C é definida por r(t) = (t, t^2, 0) para t entre 0 e 1. Vamos precisar parametrizar a curva, expressar ds em termos de dt e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva C. A curva está definida por r(t) = (t, t^2, 0). Isso significa que:
  • x = t
  • y = t^2
  • z = 0
Vamos usar essa parametrização para expressar todos os componentes da integral em termos de t.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para ds, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada de r(t) em relação a t:
r'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) = (1, 2t, 0)
O comprimento do vetor derivada é dado por:
|r'(t)| = raiz1^2 + (2t)^2 + 0^2 = raiz1 + 4t^2
Então, temos que:
ds = |r'(t)| , dt = raiz1 + 4t^2 , dt

Passo 4

Vamos substituir todas as expressões na integral original:
integralC x cos z , ds = integral0^1 x(t) cos z(t) cdot ds
Sabendo que x = t e z = 0, e substituindo ds:
= integral0^1 t cdot cos(0) cdot raiz1 + 4t^2 , dt
Como cos(0) = 1, simplificamos para:
= integral0^1 t cdot raiz1 + 4t^2 , dt

Passo 5

Para resolver a integral integral t raiz1 + 4t^2 , dt, podemos usar uma substituição. Vamos deixar u = 1 + 4t^2, então:
du = 8t , dt Rightarrow du8 = t , dt
Substituindo na integral:
= integral raizu cdot du8 = 18 integral u^1/2 , du
Integrando:
= 18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C
Voltando a u = 1 + 4t^2:
= 112 (1 + 4t^2)^3/2 + C
Agora, aplicando os limites de 0 a 1:
= 112 [ (1 + 4(1)^2)^3/2 - (1 + 4(0)^2)^3/2 ]
= 112 [ (5)^3/2 - (1)^3/2 ]
= 112 [ 5raiz5 - 1 ]

Resposta

A integral vale 5raiz5 - 112.

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