Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral de linha. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde a gente integra funções ao longo de curvas no espaço. A integral que a gente vai resolver é , onde a curva é definida por para entre 0 e 1. Vamos precisar parametrizar a curva, expressar em termos de e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . A curva está definida por . Isso significa que:
Vamos usar essa parametrização para expressar todos os componentes da integral em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada de em relação a :
O comprimento do vetor derivada é dado por:
Então, temos que:

Passo 4

Vamos substituir todas as expressões na integral original:
Sabendo que e , e substituindo :
Como , simplificamos para:

Passo 5

Para resolver a integral , podemos usar uma substituição. Vamos deixar , então:
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando a :
Agora, aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

A integral vale .

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Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais: