Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.
Passo 3
A equação característica é:
Resolvendo para
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Primeiro, simplificamos o lado direito usando uma identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos dividir a solução particular em duas partes: uma constante e uma função trigonométrica.
-
Parte constante:
Assumimos. Derivando:
Substituindo na equação: -
Parte trigonométrica:
Assumimos. Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Daqui, temos:
Então,
Passo 6
A solução particular total é a soma das duas partes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
Exercícios relacionados
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Sejam
e
funções contínuas em um intervalo aberto
, e sejam
e
duas soluções da equação diferencial
.
Prove que, se e
têm um ponto de inflexão comum
em
e
, então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Prove que, se