Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:

Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.

Passo 3

A equação característica é:

Resolvendo para :
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:

Onde e são constantes reais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:

Primeiro, simplificamos o lado direito usando uma identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos dividir a solução particular em duas partes: uma constante e uma função trigonométrica.
  1. Parte constante:

    Assumimos . Derivando:
    Substituindo na equação:
  2. Parte trigonométrica:

    Assumimos . Derivando:

    Substituindo na equação:
    Simplificando:

    Igualando os coeficientes:

    Daqui, temos:
    Então,

Passo 6

A solução particular total é a soma das duas partes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Sejam e funções contínuas em um intervalo aberto , e sejam e duas soluções da equação diferencial .
Prove que, se e têm um ponto de inflexão comum em e , então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.