Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aí:
. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente precisa encontrar duas partes: a solução geral da homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa. No final, juntamos essas duas soluções para ter a resposta completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente precisa encontrar. Substituindo na equação:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
. Ela é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos um raiz dupla:
.
Passo 4
Com uma raiz dupla
, a solução da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas por condições iniciais (se tiverem).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, a gente tenta uma solução particular também polinomial. Vamos supor:
Onde
,
e
são constantes que a gente vai determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 8
Agora que encontramos
,
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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. (Equação de Bessel).
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