Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aí: . Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente precisa encontrar duas partes: a solução geral da homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa. No final, juntamos essas duas soluções para ter a resposta completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, a gente assume que a solução tem a forma , onde é um número que a gente precisa encontrar. Substituindo na equação:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica: . Ela é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos um raiz dupla: .

Passo 4

Com uma raiz dupla , a solução da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas por condições iniciais (se tiverem).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, a gente tenta uma solução particular também polinomial. Vamos supor:
Onde , e são constantes que a gente vai determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Agora que encontramos , e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada.
. (Equação de Bessel).
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde