Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da parte homogênea (sem o lado direito) e de uma solução particular que leva em conta o termo específico do lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
.
Passo 3
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da parte homogênea é:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa. O lado direito da equação é
, que é uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas.
Usamos o método dos coeficientes a determinar. Supomos uma solução da forma:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo as expressões encontradas:
Simplificando os termos:
Cos(
):
Sin(
):
Então:
Passo 7
Igualamos os coeficientes das funções correspondentes:
Para
:
Para
:
Resolvendo esse sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Da equação (2), podemos isolar uma variável, por exemplo:
Substituímos
na equação (1):
Simplificando:
Então,
Passo 8
Agora que temos
e
, a solução particular é:
Podemos simplificar os coeficientes:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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, onde
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, onde
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
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, onde