Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da parte homogênea (sem o lado direito) e de uma solução particular que leva em conta o termo específico do lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: .

Passo 3

Com raízes complexas da forma , a solução geral da parte homogênea é:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa. O lado direito da equação é , que é uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas.
Usamos o método dos coeficientes a determinar. Supomos uma solução da forma:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituímos , e na equação original:
Substituindo as expressões encontradas:
Simplificando os termos:
Cos( ):
Sin( ):
Então:

Passo 7

Igualamos os coeficientes das funções correspondentes:
Para :
Para :
Resolvendo esse sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Da equação (2), podemos isolar uma variável, por exemplo:
Substituímos na equação (1):
Simplificando:
Então,

Passo 8

Agora que temos e , a solução particular é:
Podemos simplificar os coeficientes:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde