Calcule as seguintes integrais de linha.
integralC y z d s, onde C: r(t)=(t, 3 t, 2 t), L in[1,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular , onde é uma curva definida por para entre 1 e 3. Esse tipo de problema cai no conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente em integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva, expressar e em termos de , calcular o elemento e, por fim, integrar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva usando a função dada . Isso significa que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento r'(t) = (dxdt, dydt, dzdt) = (1, 3, 2) , que representa um pequeno pedaço de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada de ||r'(t)|| = raiz1^2 + 3^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14 :
O comprimento de é:
Então, .

Passo 4

Substituímos integralC y z , ds = integral1^3 y(t) , z(t) , ds = integral1^3 (3t)(2t) raiz14 , dt , integral1^3 6t^2 raiz14 , dt = 6raiz14 integral1^3 t^2 , dt e integral t^2 , dt = t^33 |1^3 = 273 - 13 = 9 - 13 = 263 na integral original:
6raiz14 cdot 263 = 2raiz14 cdot 26 = 52raiz14
Simplificando:
Calculando a integral:
Então:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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