Mostre que e são linearmente independentes em . Mostre, também, que é zero em . O que você pode concluir sobre a possibilidade de e serem soluções de uma equação diferencial da forma ? Verifique que e são soluções da equação . Isso contradiz sua conclusão? O comportamento do wronskiano de e contradiz o Teorema de Abel?
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que precisamos fazer. A questão pede para demonstrar que as funções e são linearmente independentes no intervalo , calcular o wronskiano em , e analisar as implicações disso para a possibilidade de e serem soluções de uma equação diferencial da forma . Além disso, devemos verificar se essas funções são soluções da equação e discutir se isso contraria nossas conclusões anteriores ou o Teorema de Abel. Vamos precisar dos conceitos de independência linear, wronskiano e equações diferenciais lineares para resolver este exercício.
Passo 2
Vamos começar mostrando que e são linearmente independentes no intervalo . Para isso, usamos o conceito de independência linear, que diz que duas funções e são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta na função zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, e são linearmente independentes se para todo no intervalo implica que e .
Passo 3
Para verificar a independência linear, calculamos o wronskiano . O wronskiano de duas funções e é dado por:
Se o wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular o wronskiano de e :
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, aplicamos a fórmula do wronskiano:
Passo 5
Analisando o wronskiano :
No intervalo , é sempre positivo, exceto em onde . Como o wronskiano não é identicamente zero no intervalo, podemos concluir que e são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 6
Agora, mostramos que é zero em :
Portanto, o wronskiano se anula no ponto , embora seja diferente de zero em outros pontos do intervalo .
Passo 7
A próxima parte da questão nos pergunta o que podemos concluir sobre a possibilidade de e serem soluções de uma equação diferencial da forma .
De acordo com o Teorema de Abel, se duas soluções e de uma equação diferencial linear de segunda ordem forem linearmente independentes em algum intervalo, então o wronskiano nunca se anula nesse intervalo, ou seja, é sempre diferente de zero.
No nosso caso, como se anula em , isso indica que pode haver um problema: e não podem ser soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem onde o coeficiente do termo é contínuo no intervalo , porque isso violaria o Teorema de Abel.
Passo 8
Apesar disso, a questão nos pede para verificar que e são soluções da equação diferencial:
Vamos verificar isso substituindo e na equação.
Primeiro, para :
Agora, para :
Ambas as funções satisfazem a equação diferencial dada.
Passo 9
Isso parece contradizer nossa conclusão anterior de que e não poderiam ser soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes contínuos no intervalo . No entanto, a equação diferencial fornecida possui e , que são singulares em (ou seja, não são contínuos em ). Portanto, o Teorema de Abel não se aplica diretamente, pois requer que os coeficientes e sejam contínuos no intervalo considerado.
Passo 10
Finalmente, sobre o comportamento do wronskiano de e e o Teorema de Abel: como mostrado, o wronskiano se anula em , mas isso não contraria o Teorema de Abel porque os coeficientes da equação diferencial não são contínuos em . O Teorema de Abel pressupõe continuidade dos coeficientes, e essa condição não é satisfeita na equação diferencial dada.
Resposta
e são linearmente independentes no intervalo e o wronskiano se anula em . Eles não podem ser soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes contínuos no intervalo considerado. A verificação de que eles satisfazem a equação não contraria essa conclusão, pois os coeficientes dessa equação não são contínuos em . O comportamento do wronskiano não contradiz o Teorema de Abel devido à descontinuidade dos coeficientes na equação diferencial.