Um indutor de 0,5 henrios é conectado em série com uma resistência de
, um capacitor de
, um gerador com uma tensão alternada dada por
, e uma chave
. (a) Estabelecer uma equação diferencial para a carga instantânea no capacitor. (b) Encontre a carga e a corrente no tempo
se a carga no capacitor é zero quando a chave
é fechada em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito elétrico com alguns componentes: um indutor de 0,5 henrios, uma resistência de
, um capacitor de
, e um gerador de tensão alternada dado por
, além de uma chave
. Nosso objetivo é:
a) Escrever uma equação diferencial que descreva a carga instantânea no capacitor.
b) Encontrar a carga e a corrente no tempo
sabendo que a carga inicial no capacitor é zero quando fechamos a chave
em
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC e equações diferenciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a): estabelecer a equação diferencial para a carga no capacitor.
Em um circuito RLC em série, a Lei de Kirchhoff das Tensões (KVL) nos diz que a soma das tensões nos componentes é igual à tensão da fonte. Então, temos:
Onde:
-
é a tensão no indutor, -
é a tensão na resistência, -
é a tensão no capacitor, -
é a tensão da fonte (gerador).
Agora, vamos expressar cada uma dessas tensões em termos da carga
no capacitor:
-
A tens��o no resistor é dada pela Lei de Ohm:
, onde é a corrente. Mas como a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo ( ), temos . -
A tensão no indutor é
, já que . -
A tensão no capacitor é
.
A tensão da fonte é dada por
.
Substituindo tudo na equação da KVL:
Agora, substituindo os valores conhecidos:
Simplificando
para
:
Essa é a equação diferencial que descreve a carga no capacitor.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): encontrar a carga
e a corrente
no tempo
, sabendo que a carga inicial é zero em
.
Temos a equação diferencial:
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 0,5:
Para resolver essa equação diferencial não homogênea, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (
) e de uma solução particular (
).
1. Solução homogênea (
):
Resolva a equação homogênea:
A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, a solução homogênea é:
2. Solução particular (
):
Como o lado direito da equação é
, vamos assumir uma solução particular da forma:
Derivando
:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Isso resulta em:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
3. Solução geral:
4. Aplicando as condições iniciais:
Sabemos que em
,
.
Então:
Também, a corrente
. Vamos calcular
e aplicar a condição inicial de corrente. Como a carga inicial é zero e a chave é fechada em
, a corrente inicial
também é zero.
Derivando
:
Em
:
5. Solução final para
:
6. Encontrando a corrente
:
Derivando
:
Simplificando:
Resposta
A carga no capacitor e a corrente no circuito para qualquer tempo
são dadas por:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo
Resolva o problema de contorno
e
.
Mostre que
e
são linearmente independentes em
. Mostre, também, que
é zero em
. O que você pode concluir sobre a possibilidade de
e
serem soluções de uma equação diferencial da forma
? Verifique que
e
são soluções da equação
. Isso contradiz sua conclusão? O comportamento do wronskiano de
e
contradiz o Teorema de Abel?
Sejam
e
funções diferenciáveis no intervalo
. Mostrar que para todo
,