Um indutor de 0,5 henrios é conectado em série com uma resistência de , um capacitor de , um gerador com uma tensão alternada dada por , e uma chave . (a) Estabelecer uma equação diferencial para a carga instantânea no capacitor. (b) Encontre a carga e a corrente no tempo se a carga no capacitor é zero quando a chave é fechada em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito elétrico com alguns componentes: um indutor de 0,5 henrios, uma resistência de , um capacitor de , e um gerador de tensão alternada dado por , além de uma chave . Nosso objetivo é:
a) Escrever uma equação diferencial que descreva a carga instantânea no capacitor.
b) Encontrar a carga e a corrente no tempo sabendo que a carga inicial no capacitor é zero quando fechamos a chave em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC e equações diferenciais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): estabelecer a equação diferencial para a carga no capacitor.
Em um circuito RLC em série, a Lei de Kirchhoff das Tensões (KVL) nos diz que a soma das tensões nos componentes é igual à tensão da fonte. Então, temos:
Onde:
  • é a tensão no indutor,
  • é a tensão na resistência,
  • é a tensão no capacitor,
  • é a tensão da fonte (gerador).
Agora, vamos expressar cada uma dessas tensões em termos da carga no capacitor:
  • A tens��o no resistor é dada pela Lei de Ohm: , onde é a corrente. Mas como a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo ( ), temos .
  • A tensão no indutor é , já que .
  • A tensão no capacitor é .
A tensão da fonte é dada por .
Substituindo tudo na equação da KVL:
Agora, substituindo os valores conhecidos:
Simplificando para :
Essa é a equação diferencial que descreve a carga no capacitor.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a carga e a corrente no tempo , sabendo que a carga inicial é zero em .
Temos a equação diferencial:
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 0,5:
Para resolver essa equação diferencial não homogênea, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e de uma solução particular ( ).
1. Solução homogênea ( ):
Resolva a equação homogênea:
A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, a solução homogênea é:
2. Solução particular ( ):
Como o lado direito da equação é , vamos assumir uma solução particular da forma:
Derivando :
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Isso resulta em:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
3. Solução geral:
4. Aplicando as condições iniciais:
Sabemos que em , .
Então:
Também, a corrente . Vamos calcular e aplicar a condição inicial de corrente. Como a carga inicial é zero e a chave é fechada em , a corrente inicial também é zero.
Derivando :
Em :
5. Solução final para :
6. Encontrando a corrente :
Derivando :
Simplificando:

Resposta

A carga no capacitor e a corrente no circuito para qualquer tempo são dadas por:

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, onde é o grafico da função no intervalo
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