Calcule as seguintes integrais de linha no longo da curva indlcada:
,ao lougo da patábola
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo da parábola
. A integral que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Integrais de Linha, especificamente envolvendo integrais vetoriais ao longo de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
e substituir
e
na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como a parábola é dada por
, podemos usar
como parâmetro. Assim, definimos:
onde
varia de
a
, já que os pontos de início e fim são
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Esses valores serão usados para substituir
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Avaliaremos essa antiderivada de
a
.
Passo 6
Calculando nos limites:
Os termos se anulam, resultando em zero.
Resposta
A integral de linha ao longo da parábola
é igual a 0.