Calcule as seguintes integrais de linha no longo da curva indlcada: integral(-1.1)^(1.1) x y d x-y^2 d y,ao lougo da patábola y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo da parábola integral(-1,1)^(1,1) x y , dx - y^2 , dy . A integral que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Integrais de Linha, especificamente envolvendo integrais vetoriais ao longo de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e substituir e na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como a parábola é dada por x = t y = t^2 , podemos usar como parâmetro. Assim, definimos:
onde varia de a , já que os pontos de início e fim são e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de dx = dt dy = 2t , dt e em relação a :
Esses valores serão usados para substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo integral-1^1 (t cdot t^2) , dt - (t^2)^2 cdot 2t , dt = integral-1^1 t^3 , dt - 2t^5 , dt , integral-1^1 (t^3 - 2t^5) , dt , e na integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral (t^3 - 2t^5) , dt = t^44 - 2t^66 + C = t^44 - t^63 + C
Avaliaremos essa antiderivada de a .

Passo 6

Calculando nos limites:
[ (1)^44 - (1)^63 ] - [ (-1)^44 - (-1)^63 ] = ( 14 - 13 ) - ( 14 - 13 ) = 0
Os termos se anulam, resultando em zero.

Resposta

A integral de linha ao longo da parábola é igual a 0.

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