Calcule as seguintes integrais de linha no longo da curva indlcada: integralgamma 2 y d y-3 x d y, sendo gamma a curva delinida por x=1-t e y=5-t, 0 <= t <= 1

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de linha integralgamma 2 y , dy - 3 x , dy, onde a curva gamma é definida por x = 1 - t e y = 5 - t para 0 <= t <= 1. Vamos usar o conceito de integrais de linha, que são usadas para calcular integrais ao longo de curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma usando o parâmetro t. Já temos as equações:
x(t) = 1 - t
y(t) = 5 - t
para t variando de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx e dy em termos de dt. Derivando x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = -1 Rightarrow dx = -dt
dydt = -1 Rightarrow dy = -dt

Passo 4

Substituímos x, y, e dy na integral original:
integralgamma 2 y , dy - 3 x , dy = integral0^1 [2y(t) - 3x(t)] , dy
Como dy = -dt, temos:
integral0^1 [2(5 - t) - 3(1 - t)] , (-dt)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2(5 - t) - 3(1 - t) = 10 - 2t - 3 + 3t = 7 + t
Então, a integral fica:
integral0^1 (7 + t) , (-dt) = -integral0^1 (7 + t) , dt

Passo 6

Agora, calculamos a integral definida:
-integral0^1 (7 + t) , dt = -[7t + t^22]0^1 = -(7 cdot 1 + 1^22 - 0) = -(7 + 0,5) = -7,5

Resposta

A integral de linha vale -7,5.

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