Calcule as seguintes integrais de linha no longo da curva indlcada: integralgamma x^2 d s é a curva x=cos 2 t e y=sen 2 t, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralgamma x^2 d s ao longo da curva definida por x = cos 2t e y = sin 2t, onde t varia de 0 a 2pi. Isso está relacionado ao estudo de integrais de linha em cálculo, onde queremos somar valores ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o elemento de arco d s.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha da forma integralgamma f(x, y) d s pode ser calculada parametrizando a curva gamma. Aqui, nossa função f(x, y) é x^2. A curva está parametrizada por x = cos 2t e y = sin 2t, com t variando de 0 a 2pi.

Passo 3

Para calcular d s, que representa um pequeno segmento de arco ao longo da curva, usamos a fórmula:
d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 dt
Vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt (cos 2t) = -2 sin 2t
dydt = ddt (sin 2t) = 2 cos 2t
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do d s.

Passo 5

Substituindo as derivadas:
d s = raiz(-2 sin 2t)^2 + (2 cos 2t)^2 dt = raiz4 sin^2 2t + 4 cos^2 2t dt
Fatorando o 4:
d s = raiz4 (sin^2 2t + cos^2 2t) dt = raiz4 cdot 1 dt = 2 dt
Porque sin^2 2t + cos^2 2t = 1.

Passo 6

Agora, substituímos x^2 e d s na integral original:
integralgamma x^2 d s = integral0^2pi (cos 2t)^2 cdot 2 dt = 2 integral0^2pi cos^2 2t , dt
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 7

Lembrando que cos^2 theta = 1 + cos 2theta2, podemos simplificar a integral:
2 integral0^2pi cos^2 2t , dt = 2 integral0^2pi 1 + cos 4t2 dt = integral0^2pi (1 + cos 4t) dt
Integrando termo a termo:
integral0^2pi 1 , dt + integral0^2pi cos 4t , dt = [t]0^2pi + [ sin 4t4 ]0^2pi

Passo 8

Calculando os limites:
[t]0^2pi = 2pi - 0 = 2pi
[ sin 4t4 ]0^2pi = sin 8pi4 - sin 04 = 0 - 0 = 0
Portanto, a integral total é:
2pi + 0 = 2pi

Resposta

A integral de linha integralgamma x^2 d s ao longo da curva dada é igual a 2pi.

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