Calcule as seguintes integrais de linha no longo da curva indlcada:
é a curva
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva definida por
e
, onde
varia de
a
. Isso está relacionado ao estudo de integrais de linha em cálculo, onde queremos somar valores ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o elemento de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha da forma
pode ser calculada parametrizando a curva
. Aqui, nossa função
é
. A curva está parametrizada por
e
, com
variando de
a
.
Passo 3
Para calcular
, que representa um pequeno segmento de arco ao longo da curva, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do
.
Passo 5
Substituindo as derivadas:
Fatorando o 4:
Porque
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na integral original:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 7
Lembrando que
, podemos simplificar a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Calculando os limites:
Portanto, a integral total é:
Resposta
A integral de linha
ao longo da curva dada é igual a
.