Verifique se a furma é exata e, nus casus afimativos, cetermine un potencial do qual ela deriva.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos verificar se a forma diferencial
é exata. Se for, devemos encontrar uma função potencial dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre formas diferenciais e condições de exatidão.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que multiplicam
e
:
Passo 3
Para verificar se a forma é exata, usamos a condição de exatidão: uma forma
é exata se e somente se
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas:
Perceba que:
Ou seja, as duas expressões são iguais.
Passo 6
Como
, a forma diferencial é exata. Portanto, existe uma função potencial
tal que:
Passo 7
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Passo 8
Realizando a integração termo a termo:
Então:
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A forma diferencial é exata, e uma função potencial que a deriva é: