Verifique se a furma é exata e, nus casus afimativos, cetermine un potencial do qual ela deriva. (sen(y) - y sen(x) + x) dx + (cos(x) + x cos(y) + y) dy.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos verificar se a forma diferencial é exata. Se for, devemos encontrar uma função potencial dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre formas diferenciais e condições de exatidão.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que multiplicam e :

Passo 3

Para verificar se a forma é exata, usamos a condição de exatidão: uma forma é exata se e somente se

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas:
Perceba que:
Ou seja, as duas expressões são iguais.

Passo 6

Como , a forma diferencial é exata. Portanto, existe uma função potencial tal que:

Passo 7

Para encontrar , integramos em relação a :

Passo 8

Realizando a integração termo a termo:
Então:

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A forma diferencial é exata, e uma função potencial que a deriva é:

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