Lembre que ln (1+x)=sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k, para -1.
(b) Seja f(x)=x^4 ln (1+9 x^2). Obtenha:
4) a série de Maclaurin de f(x), bem como o maior intervalo aberto em que f(x) é representada por essa série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a série de Maclaurin da função e determinar o maior intervalo aberto onde essa série representa a função. Vamos usar conceitos de séries de potências e a expansão da função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para ln(1 + x) = sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k, para -1 < x <= 1 , que é dada por:
Essa série nos ajuda a expandir funções logarítmicas em séries de potências.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro do logaritmo é ln(1 + 9x^2) = sumk=1^infty (-1)^k+1k (9x^2)^k . Para adaptar a série acima, substituímos ln(1 + 9x^2) = sumk=1^infty (-1)^k+1 9^kk x^2k por :
Simplificando a expressão, temos:

Passo 4

Agora, multiplicamos a série encontrada por f(x) = x^4 ln(1 + 9x^2) = x^4 sumk=1^infty (-1)^k+1 9^kk x^2k para obter f(x) = sumk=1^infty (-1)^k+1 9^kk x^2k + 4 :
Distribuindo o na série, ficamos com:

Passo 5

Para determinar o intervalo de convergência, observamos a condição original da série de -1 < 9x^2 <= 1 , que exige 9x^2 <= 1 implies x^2 <= 19 implies |x| <= 13 . No nosso caso, substituímos por , então a condição fica:
Como é sempre não negativo, simplificamos para:
Portanto, o intervalo aberto de convergência é .

Resposta

A série de Maclaurin de f(x) = sumk=1^infty (-1)^k+1 9^kk x^2k + 4 é:
| x | < 13
E o maior intervalo aberto onde é representada por essa série é:

Exercícios relacionados