Lembre que
, para
.
(b) Seja
. Obtenha:
4) a série de Maclaurin de
, bem como o maior intervalo aberto em que
é representada por essa série.
(b) Seja
4) a série de Maclaurin de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a série de Maclaurin da função
e determinar o maior intervalo aberto onde essa série representa a função. Vamos usar conceitos de séries de potências e a expansão da função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para
, que é dada por:
Essa série nos ajuda a expandir funções logarítmicas em séries de potências.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro do logaritmo é
. Para adaptar a série acima, substituímos
por
:
Simplificando a expressão, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos a série encontrada por
para obter
:
Distribuindo o
na série, ficamos com:
Passo 5
Para determinar o intervalo de convergência, observamos a condição original da série de
, que exige
. No nosso caso, substituímos
por
, então a condição fica:
Como
é sempre não negativo, simplificamos para:
Portanto, o intervalo aberto de convergência é
.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
E o maior intervalo aberto onde
é representada por essa série é: