Calcule as seguintes integrais de linha no longo da curva indlcada:
, com
a frontcira da regiāo
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira da região
. O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Vetorial, especificamente Integrais de Linha e o Teorema de Green. Precisaremos aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
e
na integral de linha dada:
O Teorema de Green nos diz que:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
A integral de linha se transforma, portanto, na integral dupla sobre a região
:
Isso significa que a integral de linha é igual à área da região
.
Passo 5
Vamos calcular a área de
:
Esta é a parte superior do círculo de raio 1 onde
está entre
e
. Podemos integrar em coordenadas cartesianas:
Resposta
A integral de linha
é igual a 1.