Calcule as seguintes integrais de linha no longo da curva indlcada: ointgamma y d x+2 x d y, com gamma a frontcira da regiāo
D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 1 e -y <= x <= y, com y >= 0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde é a fronteira da região . O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Vetorial, especificamente Integrais de Linha e o Teorema de Green. Precisaremos aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região .

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções P = y e Q = 2x e ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA na integral de linha dada:
O Teorema de Green nos diz que:

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (2x)partial x = 2
partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - 1 = 1

Passo 4

A integral de linha se transforma, portanto, na integral dupla sobre a região integral duplaD 1 , dA :
Isso significa que a integral de linha é igual à área da região .

Passo 5

Vamos calcular a área de D = (x, y) in R^2 : x^2 + y^2 <= 1 e -y <= x <= y, com y >= 0 :
Área = integraly=0^1 integralx=-y^y dx , dy = integral0^1 (2y) , dy = 2 [ y^22 ]0^1 = 1
Esta é a parte superior do círculo de raio 1 onde está entre e . Podemos integrar em coordenadas cartesianas:
Á

Resposta

A integral de linha é igual a 1.

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