Lembre que , para .
(b) Seja . Obtenha:
6) a série de Maclaurin de . Apresente o raio de convergência dessa série.

Passo 1

Beleza! Você quer encontrar a série de Maclaurin da derivada da função . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de derivadas e séries de Taylor (ou Maclaurin, que é um caso específico). Precisaremos derivar a função e então expressar essa derivada em forma de série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . Usamos a regra do produto para derivar multiplicado por :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada separadamente:
Para derivar , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos expressar como uma série de Maclaurin. Sabemos que:
Substituindo por :

Passo 6

Substituindo essa série na expressão de :

Passo 7

Vamos simplificar a primeira parte da expressão:

Passo 8

Para a segunda parte, , podemos reescrever usando a série geométrica:
Multiplicando por :

Passo 9

Agora, juntando as duas séries que encontramos:

Passo 10

Por último, determinamos o raio de convergência da série. A série inicial para converge quando:
Portanto, o raio de convergência é:

Resposta

A série de Maclaurin de é:
e o raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
3)
Lembre que , para .
(b) Seja . Obtenha:
4) a série de Maclaurin de , bem como o maior intervalo aberto em que é representada por essa série.
Calcule as seguintes integrais de linha no longo da curva indlcada: , sendo a curva delinida por e