Lembre que
, para
.
(b) Seja
. Obtenha:
6) a série de Maclaurin de
. Apresente o raio de convergência dessa série.
(b) Seja
6) a série de Maclaurin de
Passo 1
Beleza! Você quer encontrar a série de Maclaurin da derivada da função
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de derivadas e séries de Taylor (ou Maclaurin, que é um caso específico). Precisaremos derivar a função e então expressar essa derivada em forma de série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. Usamos a regra do produto para derivar
multiplicado por
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada separadamente:
Para derivar
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos expressar
como uma série de Maclaurin. Sabemos que:
Substituindo
por
:
Passo 6
Substituindo essa série na expressão de
:
Passo 7
Vamos simplificar a primeira parte da expressão:
Passo 8
Para a segunda parte,
, podemos reescrever usando a série geométrica:
Multiplicando por
:
Passo 9
Agora, juntando as duas séries que encontramos:
Passo 10
Por último, determinamos o raio de convergência da série. A série inicial para
converge quando:
Portanto, o raio de convergência
é:
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
e o raio de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Lembre que
, para
.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
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Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
3)
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
3)
Lembre que
, para
.
(b) Seja . Obtenha:
4) a série de Maclaurin de , bem como o maior intervalo aberto em que
é representada por essa série.
(b) Seja
4) a série de Maclaurin de
Calcule as seguintes integrais de linha no longo da curva indlcada:
, sendo
a curva delinida por
e