Lembre que ln (1+x)=sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k, para -1.
(b) Seja f(x)=x^4 ln (1+9 x^2). Obtenha:
6) a série de Maclaurin de f^prime(x). Apresente o raio de convergência dessa série.

Passo 1

Beleza! Você quer encontrar a série de Maclaurin da derivada da função . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de derivadas e séries de Taylor (ou Maclaurin, que é um caso específico). Precisaremos derivar a função e então expressar essa derivada em forma de série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f'(x) = ddx[x^4] cdot ln(1 + 9x^2) + x^4 cdot ddx[ln(1 + 9x^2)] . Usamos a regra do produto para derivar multiplicado por :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada separadamente:
ddx[x^4] = 4x^3
Para derivar ddx[ln(1 + 9x^2)] = 11 + 9x^2 cdot ddx[1 + 9x^2] = 18x1 + 9x^2 , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão de f'(x) = 4x^3 ln(1 + 9x^2) + x^4 cdot 18x1 + 9x^2 = 4x^3 ln(1 + 9x^2) + 18x^51 + 9x^2 :

Passo 5

Agora, vamos expressar ln(1 + x) = sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k para -1 < x <= 1 como uma série de Maclaurin. Sabemos que:
ln(1 + 9x^2) = sumk=1^infty (-1)^k+1k (9x^2)^k
Substituindo por :

Passo 6

Substituindo essa série na expressão de f'(x) = 4x^3 sumk=1^infty (-1)^k+1k (9x^2)^k + 18x^51 + 9x^2 :

Passo 7

Vamos simplificar a primeira parte da expressão:
4x^3 sumk=1^infty (-1)^k+1k 9^k x^2k = sumk=1^infty 4 (-1)^k+1 9^kk x^2k + 3

Passo 8

Para a segunda parte, 11 + 9x^2 = sumn=0^infty (-9x^2)^n para |9x^2| < 1 , podemos reescrever usando a série geométrica:
18x^51 + 9x^2 = 18x^5 sumn=0^infty (-9x^2)^n = sumn=0^infty 18 (-1)^n 9^n x^2n + 5
Multiplicando por :

Passo 9

Agora, juntando as duas séries que encontramos:
f'(x) = sumk=1^infty 4 (-1)^k+1 9^kk x^2k + 3 + sumn=0^infty 18 (-1)^n 9^n x^2n + 5

Passo 10

Por último, determinamos o raio de convergência da série. A série inicial para |9x^2| < 1 Rightarrow |x| < 13 converge quando:
R = 13
Portanto, o raio de convergência é:

Resposta

A série de Maclaurin de f'(x) = sumk=1^infty 4 (-1)^k+1 9^kk x^2k + 3 + sumn=0^infty 18 (-1)^n 9^n x^2n +5 é:
e o raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados