Verifique se a furma é exata e, nus casus afimativos, cetermine un potencial do qual ela deriva. (x+z) dx - (y+z) dy + (x-y) dz.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para verificar se a forma diferencial dada é exata. Se for, a gente também vai encontrar uma função potencial da qual ela deriva. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre cálculo diferencial e formas diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma forma diferencial exata. Uma forma diferencial é exata se existe uma função tal que:
Isso significa que:
Além disso, para que a forma seja exata, as derivadas parciais mistas precisam ser iguais. Ou seja:

Passo 3

Vamos identificar , e na forma que nos foi dada:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se as igualdades acima são satisfeitas.
Primeiro:
Aqui, , então está tudo certo.
Segundo:
Novamente, , perfeito.
Terceiro:
E mais uma vez, .

Passo 5

Como todas as condições são satisfeitas, podemos concluir que a forma diferencial é exata. Agora, vamos encontrar a função potencial .
Sabemos que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende somente de e .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende somente de .

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :
Finalmente, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A forma diferencial é exata, e uma função potencial que a gera é:
Onde é uma constante.

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