Verifique se a furma é exata e, nus casus afimativos, cetermine un potencial do qual ela deriva.
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para verificar se a forma diferencial dada é exata. Se for, a gente também vai encontrar uma função potencial da qual ela deriva. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre cálculo diferencial e formas diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma forma diferencial exata. Uma forma diferencial
é exata se existe uma função
tal que:
Isso significa que:
Além disso, para que a forma seja exata, as derivadas parciais mistas precisam ser iguais. Ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
,
e
na forma que nos foi dada:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se as igualdades acima são satisfeitas.
Primeiro:
Aqui,
, então está tudo certo.
Segundo:
Novamente,
, perfeito.
Terceiro:
E mais uma vez,
.
Passo 5
Como todas as condições são satisfeitas, podemos concluir que a forma diferencial é exata. Agora, vamos encontrar a função potencial
.
Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
e
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende somente de
.
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Finalmente, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A forma diferencial é exata, e uma função potencial que a gera é:
Onde
é uma constante.