Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma superfície definida pela parametrização . O que precisamos encontrar é a primeira forma fundamental dessa superfície. A primeira forma fundamental descreve como as distâncias e os ângulos na superfície são medidos, usando os vetores tangentes à superfície.
Passo 2
Para encontrar a primeira forma fundamental, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície. Esses vetores são as derivadas parciais da parametrização em relação a
e
.
Calculamos as derivadas:
Passo 3
Agora, calculamos os produtos internos desses vetores para encontrar os coeficientes da primeira forma fundamental, que são
,
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Com os valores de
,
e
calculados, podemos escrever a primeira forma fundamental da superfície. Ela é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A primeira forma fundamental da superfície é
.