Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: r = cos(u) i + sen(u) j + v k.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma superfície definida pela parametrização . O que precisamos encontrar é a primeira forma fundamental dessa superfície. A primeira forma fundamental descreve como as distâncias e os ângulos na superfície são medidos, usando os vetores tangentes à superfície.

Passo 2

Para encontrar a primeira forma fundamental, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície. Esses vetores são as derivadas parciais da parametrização em relação a e .
Calculamos as derivadas:

Passo 3

Agora, calculamos os produtos internos desses vetores para encontrar os coeficientes da primeira forma fundamental, que são , e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Com os valores de , e calculados, podemos escrever a primeira forma fundamental da superfície. Ela é dada por:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A primeira forma fundamental da superfície é .

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