Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: r = u * i + v * j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização r = u * i + v * j. A primeira forma fundamental é uma maneira de descrever as propriedades métricas de uma superfície, ou seja, como medir distâncias e ângulos nela. Para isso, vamos precisar calcular alguns coeficientes que definem essa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função r em relação a u e v. Isso nos dará os vetores tangentes à superfície nas direções dessas variáveis.
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental, que são E, F e G. Eles são definidos por:
Vamos calcular cada um:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)

Passo 4

Com os coeficientes calculados, podemos montar a primeira forma fundamental, que é dada por:
y = sen(x^2)
Substituindo os valores de y = sen(x^2), E e F que encontramos:
G

Resposta

A primeira forma fundamental da superfície r = u * i + v * j é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porção do cilindro x^2 + y^2 = 4, compreendida entre os planos z = 0 e z = x + 3.
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é o cilindro .
<html><head></head><body><div>Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“23.131ex” height=“2.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 10223.8 895”><title>r = cos(u) i + sen(u) j + v k</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42B” d=“M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(751.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1807.6,0)”><path data-c=“63” d=“M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z”></path><path data-c=“6F” d=“M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z” transform=“translate(444,0)”></path><path data-c=“73” d=“M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 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103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(7558.3,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(8131.6,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 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605T83 620Q69 624 42 624H29V686H32Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
</body></html>
Calcule as seguintes integrais de linha: . C é a cardioide .