Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização
. A primeira forma fundamental é uma maneira de descrever as propriedades métricas de uma superfície, ou seja, como medir distâncias e ângulos nela. Para isso, vamos precisar calcular alguns coeficientes que definem essa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Isso nos dará os vetores tangentes à superfície nas direções dessas variáveis.
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental, que são
,
e
. Eles são definidos por:
Vamos calcular cada um:
Passo 4
Com os coeficientes calculados, podemos montar a primeira forma fundamental, que é dada por:
Substituindo os valores de
,
e
que encontramos:
Resposta
A primeira forma fundamental da superfície
é
.