Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: r = u * i + v * j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização r = u * i + v * j. A primeira forma fundamental é uma maneira de descrever as propriedades métricas de uma superfície, ou seja, como medir distâncias e ângulos nela. Para isso, vamos precisar calcular alguns coeficientes que definem essa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função r em relação a u e v. Isso nos dará os vetores tangentes à superfície nas direções dessas variáveis.

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental, que são E, F e G. Eles são definidos por:
Vamos calcular cada um:

Passo 4

Com os coeficientes calculados, podemos montar a primeira forma fundamental, que é dada por:
Substituindo os valores de E, F e G que encontramos:

Resposta

A primeira forma fundamental da superfície r = u * i + v * j é .

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