Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela equação paramétrica . Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, e para isso vamos precisar calcular os vetores derivadas parciais da superfície e usar o produto interno para montar a primeira forma fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a primeira forma fundamental. Ela basicamente captura as informações sobre as distâncias e ângulos na superfície. Matematicamente, ela é expressa como:
Onde , e são os coeficientes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Para encontrar , e , vamos primeiro calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , e usando o produto interno desses vetores.
  • Cálculo de :
  • Cálculo de :
  • Cálculo de :

Passo 5

Com os valores de , e encontrados, agora é só montar a primeira forma fundamental substituindo esses coeficientes na expressão que mencionamos no Passo 2.
Simplificando, ficamos com:

Resposta

A primeira forma fundamental da superfície é:

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Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos e .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do plano , interna ao cilindro .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .
Calcule as seguintes integrais de linha: é a elipse .