Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela equação paramétrica
. Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, e para isso vamos precisar calcular os vetores derivadas parciais da superfície e usar o produto interno para montar a primeira forma fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a primeira forma fundamental. Ela basicamente captura as informações sobre as distâncias e ângulos na superfície. Matematicamente, ela é expressa como:
Onde
,
e
são os coeficientes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Para encontrar
,
e
, vamos primeiro calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
,
e
usando o produto interno desses vetores.
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
Passo 5
Com os valores de
,
e
encontrados, agora é só montar a primeira forma fundamental substituindo esses coeficientes na expressão que mencionamos no Passo 2.
Simplificando, ficamos com:
Resposta
A primeira forma fundamental da superfície é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porsão do cilindro
, situada no primeiro octante, entre os planos
e
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porsão do plano
, interna ao cilindro
.
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Calcule as seguintes integrais de linha:
é a elipse
.