Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização . Isso faz parte da geometria diferencial, e para resolver vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa parametrização em relação a e , e depois usar essas derivadas para encontrar os coeficientes da forma fundamental.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . Isso significa que vamos derivar cada componente da função em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Ou seja, derivamos cada componente em relação a :

Passo 4

A primeira forma fundamental é expressa em termos dos coeficientes , e , que são os produtos internos das derivadas parciais. Vamos calcular :
Aqui usamos a identidade trigonométrica .

Passo 5

Agora, vamos calcular o coeficiente :
Perceba que os termos se cancelam, resultando em .

Passo 6

Por fim, calculamos o coeficiente :
Novamente, usamos a identidade .

Resposta

A primeira forma fundamental da superfície é:

Exercícios relacionados

Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos e .
Calcule as seguintes integrais de linha: é a elipse .
Sejam uma curva simplesmente conexa e orientável que delimita uma região e o vetor normal unitário exterior à curva . Mostre que