Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização . Isso faz parte da geometria diferencial, e para resolver vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa parametrização em relação a
e
, e depois usar essas derivadas para encontrar os coeficientes da forma fundamental.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que vamos derivar cada componente da função
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, derivamos cada componente em relação a
:
Passo 4
A primeira forma fundamental é expressa em termos dos coeficientes
,
e
, que são os produtos internos das derivadas parciais. Vamos calcular
:
Aqui usamos a identidade trigonométrica .
Passo 5
Agora, vamos calcular o coeficiente
:
Perceba que os termos se cancelam, resultando em
.
Passo 6
Por fim, calculamos o coeficiente
:
Novamente, usamos a identidade .
Resposta
A primeira forma fundamental da superfície é:
Exercícios relacionados
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porsão do cilindro
, situada no primeiro octante, entre os planos
e
.
Calcule as seguintes integrais de linha:
é a elipse
.
Sejam
uma curva simplesmente conexa e orientável que delimita uma região
e
o vetor normal unitário exterior à curva
. Mostre que