Calcule as seguintes integrais de linha:
é qualquer curva regular fechada simples, que não envolve a origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha fechada:
onde
é qualquer curva fechada simples e regular que não envolve a origem. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa integral de linha. Temos:
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região interna à curva
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro,
:
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora,
:
Então:
Passo 5
Substituindo no Teorema de Green:
Resposta
A integral de linha dada é igual a zero.
Exercícios relacionados
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é porsão do cone
.
Calcule as seguintes integrais de linha:
é o círculo
.
Seja
um campo vetorial em
. Calcule as integrais
com
a esfera
e
é a esfera sólida
. Compare os valores.