Calcule as seguintes integrais de linha: ointC raizx^2+y^2 d x+y ln (x+raizx^2+y^2) d y, C é qualquer curva regular fechada simples, que não envolve a origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha fechada:
ointC raizx^2+y^2, dx + y ln (x+raizx^2+y^2) dy
onde é qualquer curva fechada simples e regular que não envolve a origem. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa integral de linha. Temos:
P(x, y) = raizx^2+y^2
Q(x, y) = y ln (x+raizx^2+y^2)
O Teorema de Green nos diz que:
ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde é a região interna à curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, Q = y ln (x+raizx^2+y^2) :
partial Qpartial x = y cdot 1x+raizx^2+y^2 (1 + xraizx^2+y^2)
Usando a regra da cadeia:
partial Qpartial x = y cdot raizx^2+y^2 + x(x+raizx^2+y^2)raizx^2+y^2 = yraizx^2+y^2
Simplificando:

Passo 4

Agora, P = raizx^2+y^2 :
partial Ppartial y = yraizx^2+y^2
Então:

Passo 5

Substituindo no Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD ( yraizx^2+y^2 - yraizx^2+y^2 ) dA = integral duplaD 0 , dA = 0

Resposta

A integral de linha dada é igual a zero.

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