Calcule as seguintes integrais de linha: é qualquer curva regular fechada simples, que não envolve a origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha fechada:
onde é qualquer curva fechada simples e regular que não envolve a origem. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa integral de linha. Temos:
O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região interna à curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, :
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Agora, :
Então:

Passo 5

Substituindo no Teorema de Green:

Resposta

A integral de linha dada é igual a zero.

Exercícios relacionados

Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é porsão do cone .
Calcule as seguintes integrais de linha: é o círculo .
Seja um campo vetorial em . Calcule as integrais
com a esfera e é a esfera sólida . Compare os valores.