Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: r = u i + v j + u v k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada por . A primeira forma fundamental é uma maneira de descrever como a geometria da superfície se comporta, basicamente nos dando informações sobre distâncias e ângulos nela. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da posição em relação a u e v, e depois usar esses resultados para encontrar os coeficientes que formam a primeira forma fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de r em relação a u e v. Isso significa derivar cada componente da posição r em relação a cada uma dessas variáveis.
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora que temos e , vamos calcular os coeficientes E, F e G, que são definidos como:
Calculando E:
Calculando F:
Calculando G:

Resposta

Então, a primeira forma fundamental da superfície é dada por:

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