Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada por
. A primeira forma fundamental é uma maneira de descrever como a geometria da superfície se comporta, basicamente nos dando informações sobre distâncias e ângulos nela. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da posição em relação a
e
, e depois usar esses resultados para encontrar os coeficientes que formam a primeira forma fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso significa derivar cada componente da posição
em relação a cada uma dessas variáveis.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos calcular os coeficientes
,
e
, que são definidos como:
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
Então, a primeira forma fundamental da superfície é dada por:
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Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é porsão do cone
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porsão do paraboloide
e
.
Calcule as seguintes integrais de linha:
é qualquer curva regular fechada simples, que não envolve a origem.
Calcule as seguintes integrais de linha:
é o círculo
.