Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
(b) A parte da parábola
de
a
.
(b) A parte da parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização diferenciável para a parte da parábola
que vai do ponto
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e parametrização de curvas. Vamos precisar definir uma função que represente tanto
quanto
em termos de um parâmetro, geralmente chamado de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização diferenciável. Basicamente, é uma maneira de descrever uma curva usando uma ou mais funções que dependem de um parâmetro, como
. Essas funções precisam ser suaves, ou seja, ter derivadas contínuas. Isso garante que a curva não tenha “quebras” ou pontos angulosos.
Passo 3
Vamos escolher o parâmetro
para variar de 0 a 1, o que facilita a definição dos limites da nossa curva. Queremos que quando
, estejamos no ponto
, e quando
, estejamos no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos definir
. Sabendo que
varia de -1 a 2 conforme
vai de 0 a 1, podemos usar uma equação linear para isso:
Aqui,
representa a mudança de -1 para 2 quando
varia de 0 a 1.
Passo 5
Com
definido, podemos encontrar
usando a equação da parábola
:
Isso garante que
siga a parábola conforme
varia.
Passo 6
Vamos simplificar
:
Mas, para manter a parametrização simples, podemos deixar como
.
Passo 7
Por fim, sintetizamos a parametrização diferenciável para a parte da parábola desejada:
onde
varia no intervalo
.
Resposta
A parametrização diferenciável da parte da parábola
de
a
é:
para
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(a)
(a)
Utilize o teorema de Green para calcular:
©
©
onde
é parametrizada por
e
.
Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva
em
dada pela interseção das seguintes superfícies:
(d) e
.
(d)
Calcule as seguintes integrais de linha sobre as curvas indicadas:
(b) , onde C é círculo unitário centrado na origem.
(b)