Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
(b) A parte da parábola de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização diferenciável para a parte da parábola que vai do ponto até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e parametrização de curvas. Vamos precisar definir uma função que represente tanto quanto em termos de um parâmetro, geralmente chamado de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização diferenciável. Basicamente, é uma maneira de descrever uma curva usando uma ou mais funções que dependem de um parâmetro, como . Essas funções precisam ser suaves, ou seja, ter derivadas contínuas. Isso garante que a curva não tenha “quebras” ou pontos angulosos.

Passo 3

Vamos escolher o parâmetro para variar de 0 a 1, o que facilita a definição dos limites da nossa curva. Queremos que quando , estejamos no ponto , e quando , estejamos no ponto .

Passo 4

Agora, vamos definir . Sabendo que varia de -1 a 2 conforme vai de 0 a 1, podemos usar uma equação linear para isso:
Aqui, representa a mudança de -1 para 2 quando varia de 0 a 1.

Passo 5

Com definido, podemos encontrar usando a equação da parábola :
Isso garante que siga a parábola conforme varia.

Passo 6

Vamos simplificar :
Mas, para manter a parametrização simples, podemos deixar como .

Passo 7

Por fim, sintetizamos a parametrização diferenciável para a parte da parábola desejada:
onde varia no intervalo .

Resposta

A parametrização diferenciável da parte da parábola de a é:
para no intervalo .

Exercícios relacionados

Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(a)
Utilize o teorema de Green para calcular:
©
onde é parametrizada por e .
Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva em dada pela interseção das seguintes superfícies:
(d) e .
Calcule as seguintes integrais de linha sobre as curvas indicadas:
(b) , onde C é círculo unitário centrado na origem.