Sejam f(x, y) = x + 4 * raiz(y) e C o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e 0,1. Calcule a integral de linha da função f ao longo da curva C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha da função ao longo do percurso , que é o triângulo com vértices em , e . Isso está relacionado ao estudo de integrais de linha em cálculo vetorial. Vamos precisar dividir o triângulo em três segmentos de reta e calcular a integral em cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três segmentos que compõem o triângulo :
  1. Segmento 1: De para
  2. Segmento 2: De para
  3. Segmento 3: De para
Vamos calcular a integral de linha em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento 1: De para
Neste segmento, porque estamos no eixo . Então, a função simplifica para:
A integral de linha neste segmento é:

Passo 4

Segmento 2: De para
Este segmento é a hipotenusa do triângulo. Podemos parametrizar este segmento usando uma variável que varia de 0 a 1:
Calculamos e :
Agora, substituímos na função :
A integral de linha neste segmento é:
Calculemos a norma do diferencial:
Então, a integral fica:
Vamos calcular cada parte:
Calculando as integrais:

Passo 5

Segmento 3: De para
Neste segmento, porque estamos no eixo . Então, a função simplifica para:
Parametrizamos este segmento com variando de 1 a 0:
Então, .
A integral de linha neste segmento é:
Fazendo a substituição , , a integral fica:

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
Portanto, a integral de linha da função ao longo da curva é:

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