Sejam
e
o triângulo de vértices
e
. Calcule a integral de linha da função
ao longo da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha da função
ao longo do percurso
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Isso está relacionado ao estudo de integrais de linha em cálculo vetorial. Vamos precisar dividir o triângulo em três segmentos de reta e calcular a integral em cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três segmentos que compõem o triângulo
:
- Segmento 1: De
para - Segmento 2: De
para - Segmento 3: De
para
Vamos calcular a integral de linha em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento 1: De
para
Neste segmento,
porque estamos no eixo
. Então, a função
simplifica para:
A integral de linha neste segmento é:
Passo 4
Segmento 2: De
para
Este segmento é a hipotenusa do triângulo. Podemos parametrizar este segmento usando uma variável
que varia de 0 a 1:
Calculamos
e
:
Agora, substituímos na função
:
A integral de linha neste segmento é:
Calculemos a norma do diferencial:
Então, a integral fica:
Vamos calcular cada parte:
Calculando as integrais:
Passo 5
Segmento 3: De
para
Neste segmento,
porque estamos no eixo
. Então, a função
simplifica para:
Parametrizamos este segmento com
variando de 1 a 0:
Então,
.
A integral de linha neste segmento é:
Fazendo a substituição
,
, a integral fica:
Resposta
Somando as integrais dos três segmentos:
Portanto, a integral de linha da função
ao longo da curva
é: