Calcule o trabalho realizado por
ao longo de
, onde
e
, com
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força
ao longo de uma trajetória
. Especificamente, temos:
- Campo de força:
- Trajetória:
, onde
Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o conceito de trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma curva. Precisaremos calcular uma integração de linha que envolve o produto escalar entre o campo de força e o vetor tangente à trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o trabalho realizado por um campo de força
ao longo de uma trajetória
. O trabalho
é dado por:
Aqui,
é o vetor diferencial ao longo da curva
, e o ponto entre
e
representa o produto escalar entre esses vetores.
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a trajetória
e determinar seu vetor derivado
. Vamos fazer isso agora.
A trajetória é dada por:
Isso ocorre porque
é igual a
quando
é positivo e a
quando
é negativo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor tangente à curva:
Para
:
Para
:
Passo 5
Em seguida, vamos expressar o campo de força
ao longo da trajetória
:
Como vimos anteriormente, isso se torna:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
para ambos os casos:
Para
:
Para
:
Interessante notar que, em ambos os casos, o produto escalar resulta na mesma expressão:
.
Passo 7
Agora, podemos expressar o trabalho
como a soma das integrais de
a
e de
a
:
Passo 8
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral (
):
Segunda integral (
):
Resposta
Somando os resultados das duas integrais:
Portanto, o trabalho realizado por
ao longo de
é 0.