Calcule o trabalho realizado por F ao longo de gamma, onde F(x, y) = (x, y) e gamma(t) = (t, t*t), com t em [-1, 1].

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força F ao longo de uma trajetória gamma. Especificamente, temos:
  • Campo de força:
  • Trajetória: , onde
Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o conceito de trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma curva. Precisaremos calcular uma integração de linha que envolve o produto escalar entre o campo de força e o vetor tangente à trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o trabalho realizado por um campo de força F ao longo de uma trajetória gamma. O trabalho W é dado por:
Aqui, é o vetor diferencial ao longo da curva gamma, e o ponto entre F e representa o produto escalar entre esses vetores.

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a trajetória e determinar seu vetor derivado . Vamos fazer isso agora.
A trajetória é dada por:
Isso ocorre porque é igual a quando t é positivo e a quando t é negativo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de gamma(t) em relação a t, que nos dá o vetor tangente à curva:
Para t ≥ 0:
Para :

Passo 5

Em seguida, vamos expressar o campo de força F ao longo da trajetória gamma(t):
Como vimos anteriormente, isso se torna:
Para t ≥ 0:
Para :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar para ambos os casos:
Para t ≥ 0:
Para :
Interessante notar que, em ambos os casos, o produto escalar resulta na mesma expressão: .

Passo 7

Agora, podemos expressar o trabalho W como a soma das integrais de a e de a :

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral ( ):
Segunda integral ( ):

Resposta

Somando os resultados das duas integrais:
Portanto, o trabalho realizado por F ao longo de gamma é 0.

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