Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
©
, onde
é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de
a
e de
a
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
, onde
é um caminho poligonal que vai de
até
e depois de
até
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo complexo, especialmente sobre integrais de funções analíticas ao longo de contornos no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa integrar uma função complexa ao longo de um caminho no plano complexo. Aqui, a função que vamos integrar é
, que é uma função analítica (ou seja, diferenciável em todos os pontos do plano complexo).
Passo 3
Uma propriedade muito útil de funções analíticas é que a integral delas entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas dos pontos inicial e final. Isso é conhecido como independente do caminho. Portanto, podemos escolher o caminho mais simples para calcular a integral.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções de uma variável complexa, que nos diz que:
onde
é uma primitiva de
.
Passo 5
Para a função
, a primitiva
é simplesmente
, porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Aplicando o teorema, temos:
Aqui,
e
.
Passo 7
Substituindo os valores:
Sabemos que
.
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Sabemos que
(pela famosa identidade de Euler).
Passo 9
Substituindo:
Passo 10
Finalmente, substituindo de volta na integral:
Resposta
Exercícios relacionados
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(f)
(f)
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
©
©
Determine um limitante superior para o valor absoluto das seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(a) , onde
é a circunferência
.
(a)
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(a)
(a)