Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
© , onde é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de a e de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: , onde é um caminho poligonal que vai de até e depois de até . Vamos precisar usar conceitos de cálculo complexo, especialmente sobre integrais de funções analíticas ao longo de contornos no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa integrar uma função complexa ao longo de um caminho no plano complexo. Aqui, a função que vamos integrar é , que é uma função analítica (ou seja, diferenciável em todos os pontos do plano complexo).

Passo 3

Uma propriedade muito útil de funções analíticas é que a integral delas entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas dos pontos inicial e final. Isso é conhecido como independente do caminho. Portanto, podemos escolher o caminho mais simples para calcular a integral.

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções de uma variável complexa, que nos diz que:
onde é uma primitiva de .

Passo 5

Para a função , a primitiva é simplesmente , porque a derivada de em relação a é .

Passo 6

Aplicando o teorema, temos:
Aqui, e .

Passo 7

Substituindo os valores:
Sabemos que .

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Sabemos que (pela famosa identidade de Euler).

Passo 9

Substituindo:

Passo 10

Finalmente, substituindo de volta na integral:

Resposta

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Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(f)
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
©
Determine um limitante superior para o valor absoluto das seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(a) , onde é a circunferência .
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(a)