Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de
onde
é o contorno dado por
. Vamos usar o Teorema de Cauchy-Goursat, que é uma ferramenta poderosa na análise complexa para calcular integrais ao longo de caminhos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso é possível por causa da propriedade de linearidade das integrais.
Passo 3
Vamos analisar a primeira integral:
.
Segundo o Teorema de Cauchy-Goursat, se a função for analítica (ou seja, diferenciável em todos os pontos) dentro e sobre o contorno
, então a integral ao longo de
é zero. A função
é um polinômio, que é analítico em todo o plano complexo. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral:
.
Aqui, a função
tem uma singularidade em
. Como
, o ponto
está dentro do contorno
. Segundo o Teorema de Cauchy, a integral de
ao redor de um contorno que envolve o ponto
é igual a
.
Então:
Passo 5
Agora, juntando as duas integrais que calculamos:
Resposta
A integral
onde
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine um limitante superior para o valor absoluto das seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(a) , onde
é a circunferência
.
(a)
Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
© , onde
é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de
a
e de
a
.
©
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(d)
(d)
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
(b)
(b)