Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de onde é o contorno dado por . Vamos usar o Teorema de Cauchy-Goursat, que é uma ferramenta poderosa na análise complexa para calcular integrais ao longo de caminhos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso é possível por causa da propriedade de linearidade das integrais.

Passo 3

Vamos analisar a primeira integral: .
Segundo o Teorema de Cauchy-Goursat, se a função for analítica (ou seja, diferenciável em todos os pontos) dentro e sobre o contorno , então a integral ao longo de é zero. A função é um polinômio, que é analítico em todo o plano complexo. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: .
Aqui, a função tem uma singularidade em . Como , o ponto está dentro do contorno . Segundo o Teorema de Cauchy, a integral de ao redor de um contorno que envolve o ponto é igual a .
Então:

Passo 5

Agora, juntando as duas integrais que calculamos:

Resposta

A integral onde é igual a .

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Determine um limitante superior para o valor absoluto das seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(a) , onde é a circunferência .
Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
© , onde é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de a e de a .
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(d)
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
(b)