Determine um limitante superior para o valor absoluto das seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(a) , onde é a circunferência .
Passo 1
Beleza! O exercício pede pra gente encontrar um limite superior para o valor absoluto da integral , onde é a circunferência com raio 5 (). Vamos usar o Teorema de Estimativa da análise complexa, que ajuda a determinar esse tipo de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Estimativa. Ele diz que, para uma função contínua no contorno :
Isso significa que o valor absoluto da integral é menor ou igual ao produto do comprimento do contorno pelo maior valor absoluto da função ao longo desse contorno.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento da circunferência . Como tem raio 5, o comprimento é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o máximo de na circunferência . Vamos analisar essa expressão:
Vamos calcular e separadamente.
Passo 5
Para , sabemos que:
Onde é a parte real de . Na circunferência , o máximo de ocorre quando , então:
Passo 6
Agora, vamos calcular . Usamos a desigualdade triangular reversa:
Pois implica .
Passo 7
Com isso, temos:
Passo 8
Aplicando o Teorema de Estimativa, multiplicamos pelo comprimento do contorno:
Resposta
Um limitante superior para o valor absoluto da integral é .