Determine um limitante superior para o valor absoluto das seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(a) , onde é a circunferência .

Passo 1

Beleza! O exercício pede pra gente encontrar um limite superior para o valor absoluto da integral , onde é a circunferência com raio 5 ( ). Vamos usar o Teorema de Estimativa da análise complexa, que ajuda a determinar esse tipo de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Estimativa. Ele diz que, para uma função contínua no contorno :
Isso significa que o valor absoluto da integral é menor ou igual ao produto do comprimento do contorno pelo maior valor absoluto da função ao longo desse contorno.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento da circunferência . Como tem raio 5, o comprimento é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o máximo de na circunferência . Vamos analisar essa expressão:
Vamos calcular e separadamente.

Passo 5

Para , sabemos que:
Onde é a parte real de . Na circunferência , o máximo de ocorre quando , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular . Usamos a desigualdade triangular reversa:
Pois implica .

Passo 7

Com isso, temos:

Passo 8

Aplicando o Teorema de Estimativa, multiplicamos pelo comprimento do contorno:

Resposta

Um limitante superior para o valor absoluto da integral é .

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Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
© , onde é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de a e de a .
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(f)
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(a)
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(d)