Determine um limitante superior para o valor absoluto das seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(a) , onde é a circunferência .
Passo 1
Beleza! O exercício pede pra gente encontrar um limite superior para o valor absoluto da integral , onde é a circunferência com raio 5 (). Vamos usar o Teorema de Estimativa da análise complexa, que ajuda a determinar esse tipo de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Estimativa. Ele diz que, para uma função contínua no contorno :
Isso significa que o valor absoluto da integral é menor ou igual ao produto do comprimento do contorno pelo maior valor absoluto da função ao longo desse contorno.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento da circunferência comprimento(C) = 2pi R = 2pi times 5 = 10pi . Como tem raio 5, o comprimento é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o máximo de | e^zz^2+1 | = |e^z||z^2+1| na circunferência . Vamos analisar essa expressão:
Vamos calcular e separadamente.
Passo 5
Para |e^z| = e^Re(z) , sabemos que:
|e^z| <= e^5
Onde é a parte real de . Na circunferência , o máximo de ocorre quando , então: