Determine um limitante superior para o valor absoluto das seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(a) ointC e^zz^2+1 d z, onde C é a circunferência |z|=5.

Passo 1

Beleza! O exercício pede pra gente encontrar um limite superior para o valor absoluto da integral , onde é a circunferência com raio 5 ( ). Vamos usar o Teorema de Estimativa da análise complexa, que ajuda a determinar esse tipo de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Estimativa. Ele diz que, para uma função contínua | ointC f(z) dz | <= comprimento(C) cdot maxz in C |f(z)| no contorno :
Isso significa que o valor absoluto da integral é menor ou igual ao produto do comprimento do contorno pelo maior valor absoluto da função ao longo desse contorno.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento da circunferência comprimento(C) = 2pi R = 2pi times 5 = 10pi . Como tem raio 5, o comprimento é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o máximo de | e^zz^2+1 | = |e^z||z^2+1| na circunferência . Vamos analisar essa expressão:
Vamos calcular e separadamente.

Passo 5

Para |e^z| = e^Re(z) , sabemos que:
|e^z| <= e^5
Onde é a parte real de . Na circunferência , o máximo de ocorre quando , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular |z^2 + 1| >= ||z^2| - |1|| = |25 - 1| = 24 . Usamos a desigualdade triangular reversa:
Pois implica .

Passo 7

Com isso, temos:
| e^zz^2+1 | <= e^524

Passo 8

Aplicando o Teorema de Estimativa, multiplicamos pelo comprimento do contorno:
| ointC e^zz^2+1 dz | <= 10pi times e^524 = 10pi e^524 = 5pi e^512

Resposta

Um limitante superior para o valor absoluto da integral é .

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