Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(f) 1/(e^z - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente diferenciar a função e dizer onde essa função é analítica. Isso está ligado à matéria de Análise Complexa, onde vamos precisar saber como derivar funções de variável complexa e entender o que significa uma função ser analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a função . Para isso, vamos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Aqui, é mais fácil aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

A derivada de é:
Isso porque, ao derivar o denominador , obtemos , e aplicamos a regra da cadeia para trazer o negativo para o numerador.

Passo 4

Agora, vamos ver onde a função é analítica. Uma função é analítica onde ela é diferenciável e não tem singularidades (pontos onde ela não está definida). Aqui, a função terá problemas quando o denominador , ou seja, quando .
Resolvendo :
é
Então, a função não é analítica nesses pontos.

Resposta

A derivada da função é . A função é analítica em todo o plano complexo, exceto nos pontos , onde é um número inteiro.

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