Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente diferenciar a função
e dizer onde essa função é analítica. Isso está ligado à matéria de Análise Complexa, onde vamos precisar saber como derivar funções de variável complexa e entender o que significa uma função ser analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a função
. Para isso, vamos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Aqui, é mais fácil aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
A derivada de
é:
Isso porque, ao derivar o denominador
, obtemos
, e aplicamos a regra da cadeia para trazer o negativo para o numerador.
Passo 4
Agora, vamos ver onde a função é analítica. Uma função é analítica onde ela é diferenciável e não tem singularidades (pontos onde ela não está definida). Aqui, a função
terá problemas quando o denominador
, ou seja, quando
.
Resolvendo
:
Então, a função não é analítica nesses pontos.
Resposta
A derivada da função é
. A função
é analítica em todo o plano complexo, exceto nos pontos
, onde
é um número inteiro.