Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para diferenciarmos a função
e também descobrir em qual região essa função é analítica. Isso envolve conceitos de cálculo complexo, como derivadas de funções de variáveis complexas e a ideia de analiticidade, que significa que a função é diferenciável em todos os pontos de uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a função
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Lembra que a derivada de
em relação a
é
, onde
.
Passo 3
Calculando a derivada de
, que é simplesmente
, já que a derivada da exponencial complexa é ela mesma.
Passo 4
Então, aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 5
Agora, vamos determinar onde essa função é analítica. As funções exponenciais e trigonométricas complexas, como
,
e
, são todas analíticas em todo o plano complexo. Isso porque elas são representáveis por séries de potências que convergem para qualquer
no complexo.
Passo 6
Como a composição de funções analíticas também é analítica,
é analítica em todo o plano complexo.
Resposta
A derivada de
é
, e a função é analítica em toda a região do plano complexo.