Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
© sen(e^z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para diferenciarmos a função sen(e^z) e também descobrir em qual região essa função é analítica. Isso envolve conceitos de cálculo complexo, como derivadas de funções de variáveis complexas e a ideia de analiticidade, que significa que a função é diferenciável em todos os pontos de uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a função sen(e^z). Para isso, usamos a regra da cadeia. Lembra que a derivada de em relação a z é , onde .

Passo 3

Calculando a derivada de e^z, que é simplesmente e^z, já que a derivada da exponencial complexa é ela mesma.

Passo 4

Então, aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 5

Agora, vamos determinar onde essa função é analítica. As funções exponenciais e trigonométricas complexas, como e^z, sen(z) e , são todas analíticas em todo o plano complexo. Isso porque elas são representáveis por séries de potências que convergem para qualquer z no complexo.

Passo 6

Como a composição de funções analíticas também é analítica, sen(e^z) é analítica em todo o plano complexo.

Resposta

A derivada de sen(e^z) é , e a função é analítica em toda a região do plano complexo.

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