Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
©

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para diferenciarmos a função e também descobrir em qual região essa função é analítica. Isso envolve conceitos de cálculo complexo, como derivadas de funções de variáveis complexas e a ideia de analiticidade, que significa que a função é diferenciável em todos os pontos de uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a função . Para isso, usamos a regra da cadeia. Lembra que a derivada de em relação a é , onde .

Passo 3

Calculando a derivada de , que é simplesmente , já que a derivada da exponencial complexa é ela mesma.

Passo 4

Então, aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 5

Agora, vamos determinar onde essa função é analítica. As funções exponenciais e trigonométricas complexas, como , e , são todas analíticas em todo o plano complexo. Isso porque elas são representáveis por séries de potências que convergem para qualquer no complexo.

Passo 6

Como a composição de funções analíticas também é analítica, é analítica em todo o plano complexo.

Resposta

A derivada de é , e a função é analítica em toda a região do plano complexo.

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© , onde é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de a e de a .