Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(d) , onde é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de a , de a e de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral , onde é um caminho que forma um polígono indo de para , depois para e voltando para . Aqui, estamos trabalhando com integrais de contorno na análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar cada segmento do caminho e calcular a integral em cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o caminho em três segmentos:
  1. Segmento 1: de para .
  2. Segmento 2: de para .
  3. Segmento 3: de de volta para .
Vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento 1: de para .
Aqui, podemos parametrizar como:
Então, .
Agora, substituímos na integral:
Integrando:

Passo 4

Segmento 2: de para .
Vamos parametrizar como:
Então, .
Substituindo na integral:
Primeiro, expandimos :
Agora, multiplicamos por :
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 5

Segmento 3: de para .
Vamos parametrizar como:
Simplificando:
Então, .
Substituindo na integral:
Primeiro, expandimos :
Então:
Multiplicando por :
Agora, a integral fica:
Integrando cada parte:
Somando tudo:

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
Então, a integral é igual a zero.

Exercícios relacionados

Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
e)
Expresse pelo seu termo geral , cada uma das seguintes sequências.
(g)
Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem. Caso convirjam, encontre seu limite.
e)
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
© (i) , (ii)