Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(d) ointC z^2 d z, onde C é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de z=0 a z=1, de z=1 a z=1+i e de z=1+i a z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral , onde é um caminho que forma um polígono indo de para , depois para e voltando para . Aqui, estamos trabalhando com integrais de contorno na análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar cada segmento do caminho e calcular a integral em cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o caminho em três segmentos:
  1. Segmento 1: de para .
  2. Segmento 2: de para .
  3. Segmento 3: de de volta para .
Vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento 1: de z(t) = t com t in [0, 1] para integral0^1 z(t)^2 , dz = integral0^1 t^2 , dt .
Aqui, podemos parametrizar integral0^1 t^2 , dt = [ t^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13 como:
Então, .
Agora, substituímos na integral:
Integrando:

Passo 4

Segmento 2: de z(t) = 1 + it com t in [0, 1] para integral1^1+i z^2 , dz = integral0^1 (1 + it)^2 cdot i , dt .
Vamos parametrizar (1 + it)^2 = 1 + 2it - t^2 como:
(1 + 2it - t^2) cdot i = i + 2i^2t - i t^2 = i - 2t - i t^2
Então, integral0^1 (i - 2t - i t^2) , dt = integral0^1 i , dt - 2 integral0^1 t , dt - i integral0^1 t^2 , dt .
Substituindo na integral:
integral0^1 i , dt = i [ t ]0^1 = i
Primeiro, expandimos -2 integral0^1 t , dt = -2 [ t^22 ]0^1 = -1 :
-i integral0^1 t^2 , dt = -i [ t^33 ]0^1 = -i3
Agora, multiplicamos por i - 1 - i3 = -1 + (1 - 13)i = -1 + 2i3 :
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 5

Segmento 3: de z(t) = (1 - t) + i(1 - t) com t in [0, 1] para z(t) = (1 - t)(1 + i) .
Vamos parametrizar integral1+i^0 z^2 , dz = integral0^1 [(1 - t)(1 + i)]^2 cdot (-1 - i) , dt como:
(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i
Simplificando:
[(1 - t)(1 + i)]^2 = (1 - t)^2 cdot 2i = 2i(1 - 2t + t^2)
Então, 2i(1 - 2t + t^2) cdot (-1 - i) = -2i(1 - 2t + t^2) - 2i^2(1 - 2t + t^2) = -2i(1 - 2t + t^2) + 2(1 - 2t + t^2) .
Substituindo na integral:
integral0^1 [2(1 - 2t + t^2) - 2i(1 - 2t + t^2)] , dt
Primeiro, expandimos 2 integral0^1 (1 - 2t + t^2) , dt = 2 [ t - t^2 + t^33 ]0^1 = 2(1 - 1 + 13) = 23 :
-2i integral0^1 (1 - 2t + t^2) , dt = -2i [ t - t^2 + t^33 ]0^1 = -2i(1 -1 + 13) = -2i3
Então:
23 - 2i3
Multiplicando por :
Agora, a integral fica:
Integrando cada parte:
Somando tudo:

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
13 + (-1 + 2i3) + (23 - 2i3) = 13 -1 + 23 + 2i3 - 2i3 = 0
Então, a integral é igual a zero.

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