Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(d)
, onde
é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de
a
, de
a
e de
a
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
, onde
é um caminho que forma um polígono indo de
para
, depois para
e voltando para
. Aqui, estamos trabalhando com integrais de contorno na análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar cada segmento do caminho
e calcular a integral em cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o caminho
em três segmentos:
- Segmento 1: de
para . - Segmento 2: de
para . - Segmento 3: de
de volta para .
Vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento 1: de
para
.
Aqui, podemos parametrizar
como:
Então,
.
Agora, substituímos na integral:
Integrando:
Passo 4
Segmento 2: de
para
.
Vamos parametrizar
como:
Então,
.
Substituindo na integral:
Primeiro, expandimos
:
Agora, multiplicamos por
:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 5
Segmento 3: de
para
.
Vamos parametrizar
como:
Simplificando:
Então,
.
Substituindo na integral:
Primeiro, expandimos
:
Então:
Multiplicando por
:
Agora, a integral fica:
Integrando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
Somando as integrais dos três segmentos:
Então, a integral
é igual a zero.