Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem. Caso convirjam, encontre seu limite.
e) a_n = (4n^2 - 3n) / (n^2 + 5^n - 6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de limites de sequências e observar o comportamento dos termos no numerador e denominador conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para entender como cada parte se comporta quando fica muito grande.
  • Numerador:
  • Denominador:
Sabemos que, conforme aumenta, os termos com maiores potências ou que crescem mais rápido dominam o comportamento da expressão. No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador, temos um termo exponencial , que cresce muito mais rápido do que qualquer termo polinomial.

Passo 3

Agora, vamos comparar o crescimento dos termos dominantes:
  • No numerador, o termo dominante é , que cresce quadraticamente.
  • No denominador, o termo dominante é , que cresce exponencialmente.
Como o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, a fração inteira tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 4

Matematicamente, isso significa que:
Aqui, simplificamos ignorando os termos de menor ordem porque eles têm impacto insignificante comparado aos termos dominantes conforme cresce.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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