Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem. Caso convirjam, encontre seu limite.
e)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de limites de sequências e observar o comportamento dos termos no numerador e denominador conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para entender como cada parte se comporta quando
fica muito grande.
- Numerador:
- Denominador:
Sabemos que, conforme
aumenta, os termos com maiores potências ou que crescem mais rápido dominam o comportamento da expressão. No numerador, o termo de maior grau é
, e no denominador, temos um termo exponencial
, que cresce muito mais rápido do que qualquer termo polinomial.
Passo 3
Agora, vamos comparar o crescimento dos termos dominantes:
- No numerador, o termo dominante é
, que cresce quadraticamente. - No denominador, o termo dominante é
, que cresce exponencialmente.
Como o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, a fração inteira tende a zero quando
vai para o infinito.
Passo 4
Matematicamente, isso significa que:
Aqui, simplificamos ignorando os termos de menor ordem porque eles têm impacto insignificante comparado aos termos dominantes conforme
cresce.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 0.