Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
©
(i)
, (ii)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema de Cauchy-Goursat. A gente vai precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (os pontos onde o denominador é zero) e ver quais deles estão dentro dos contornos indicados. A função que estamos integrando é:
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para encontrar as singularidades:
Então, temos dois pontos onde a função não é definida:
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os contornos:
-
Para
: Esse é um círculo centrado em 5 com raio 2. - A distância de
até o centro 5 é , que é maior que 2. Então, está fora do contorno. - A distância de
até o centro 5 é , que é menor que 2. Então, está dentro do contorno.
- A distância de
-
Para
: Esse é um círculo centrado na origem com raio 9. - Tanto
quanto estão dentro desse círculo, já que e .
- Tanto
Passo 4
Segundo o Teorema de Cauchy-Goursat, a integral de uma função ao longo de um contorno fechado é igual a
vezes a soma das residuais das singularidades dentro do contorno.
Então, precisamos calcular as residuais em
e
.
Passo 5
Para achar a residual em um polo simples
, usamos a fórmula:
Vamos calcular para cada ponto:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, aplicamos o teorema para cada contorno:
- Para
: Só está dentro.
- Para
: Ambos e estão dentro.
Resposta
(i)
(ii)
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem. Caso convirjam, encontre seu limite.
e)
e)
Calcule as seguintes integrais ao longo dos contornos especificados.
(d) , onde
é o percurso poligonal que consiste nos segmentos de retas de
a
, de
a
e de
a
.
(d)
Dê um exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(b) limitada e não-monótona;
(b) limitada e não-monótona;
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
© (i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
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