Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
©
(i)
, (ii)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema de Cauchy-Goursat. A gente vai precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (os pontos onde o denominador é zero) e ver quais deles estão dentro dos contornos indicados. A função que estamos integrando é:
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para encontrar as singularidades:
Então, temos dois pontos onde a função não é definida:
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os contornos:
-
Para
: Esse é um círculo centrado em 5 com raio 2. - A distância de
até o centro 5 é , que é maior que 2. Então, está fora do contorno. - A distância de
até o centro 5 é , que é menor que 2. Então, está dentro do contorno.
- A distância de
-
Para
: Esse é um círculo centrado na origem com raio 9. - Tanto
quanto estão dentro desse círculo, já que e .
- Tanto
Passo 4
Segundo o Teorema de Cauchy-Goursat, a integral de uma função ao longo de um contorno fechado é igual a
vezes a soma das residuais das singularidades dentro do contorno.
Então, precisamos calcular as residuais em
e
.
Passo 5
Para achar a residual em um polo simples
, usamos a fórmula:
Vamos calcular para cada ponto:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, aplicamos o teorema para cada contorno:
- Para
: Só está dentro.
- Para
: Ambos e estão dentro.
Resposta
(i)
(ii)