Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
© ointC -3 z+2z^2-8 z+12 d z ; (i) |z-5|=2, (ii) |z|=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema de Cauchy-Goursat. A gente vai precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (os pontos onde o denominador é zero) e ver quais deles estão dentro dos contornos indicados. A função que estamos integrando é:
f(z) = -3z + 2z^2 - 8z + 12

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para encontrar as singularidades:
z^2 - 8z + 12 = (z - 2)(z - 6)
Então, temos dois pontos onde a função não é definida: e .

Passo 3

Agora, vamos analisar os contornos:
  1. Para : Esse é um círculo centrado em 5 com raio 2.
    • A distância de até o centro 5 é , que é maior que 2. Então, está fora do contorno.
    • A distância de até o centro 5 é , que é menor que 2. Então, está dentro do contorno.
  2. Para : Esse é um círculo centrado na origem com raio 9.
    • Tanto quanto estão dentro desse círculo, já que e .

Passo 4

Segundo o Teorema de Cauchy-Goursat, a integral de uma função ao longo de um contorno fechado é igual a vezes a soma das residuais das singularidades dentro do contorno.
Então, precisamos calcular as residuais em e .

Passo 5

Para achar a residual em um polo simples Res(f, z0) = -3z0 + 22z0 - 8 , usamos a fórmula:
Res(f, 6) = -3(6) + 22(6) - 8 = -18 + 212 - 8 = -164 = -4
Vamos calcular para cada ponto:
  • Para Res(f, 2) = -3(2) + 22(2) - 8 = -6 + 24 - 8 = -4-4 = 1 :
  • Para :

Passo 6

Agora, aplicamos o teorema para cada contorno:
  1. Para ointC -3z + 2z^2 - 8z + 12 dz = 2pi i times (-4) = -8pi i : ointC -3z + 2z^2 - 8z + 12 dz = 2pi i times (-4 + 1) = 2pi i times (-3) = -6pi i está dentro.
  1. Para : Ambos e estão dentro.

Resposta

(i)
(ii)

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