Use a regra da cadeia para achar d/z dt.
z = ln(raiz(x^2 + y^2 + z^2)), x = sen(t), y = cos(t) e z = tg(t).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente quer encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Aqui estão as informações que temos:
Vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas, funções trigonométricas e aplicar a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para .
Temos:
Lembrando que , podemos reescrever:

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões de , e em termos de :
Substituindo na equação de :

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que , então:
Lembrando que :

Passo 5

Utilizamos a propriedade do logaritmo :

Passo 6

Agora, queremos encontrar . Sabemos que:
A derivada de em relação a é:
Sabendo que , temos:

Resposta

A derivada é igual a .

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