Seja
um campo vetorial em
. Calcule a integral de linha do campo
ao longo das curvas
e
, orientadas no sentido anti-horário, onde:
é a fronteira do retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo das curvas
e
. A curva
é o contorno de um retângulo definido por
, e ambas as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para facilitar esse cálculo, que nos ajuda a transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é essa integral de linha. Basicamente, estamos somando os efeitos do campo vetorial
ao longo do caminho definido por
. O Teorema de Green é perfeito para isso porque ele relaciona essa integral de linha a uma integral dupla sobre a área que
delimita, no caso, o retângulo
.
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Onde
e
. Nosso objetivo agora é calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Subtraindo as duas:
Passo 5
Com isso, a integral dupla fica bem simples:
Agora, calculamos a área do retângulo
:
Multiplicando pelo 3:
Resposta
A integral de linha do campo
ao longo da curva
é
.