Seja F(x, y) = (-y / (x^2 + y^2), x / (x^2 + y^2) + 3x) um campo vetorial em R^2. Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido anti-horário, onde: C2 é a fronteira do retângulo R = {(x, y) em R^2 | -pi <= x <= pi, -3 <= y <= 3}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo das curvas e . A curva é o contorno de um retângulo definido por , e ambas as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para facilitar esse cálculo, que nos ajuda a transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa integral de linha. Basicamente, estamos somando os efeitos do campo vetorial ao longo do caminho definido por . O Teorema de Green é perfeito para isso porque ele relaciona essa integral de linha a uma integral dupla sobre a área que delimita, no caso, o retângulo .

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Onde e . Nosso objetivo agora é calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Vamos calcular cada derivada:
Primeiro, :
Segundo, :
Subtraindo as duas:

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica bem simples:
Á
Agora, calculamos a área do retângulo :
Á
Multiplicando pelo 3:

Resposta

A integral de linha do campo ao longo da curva é .

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