Calcule as seguintes integrais por mudança de variáveis onde é dado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando mudança de variáveis. O exercício pede para calcular:
Onde a região é definida por:
Vamos usar o método de mudança de variáveis para simplificar essa integral. Precisamos identificar novas variáveis que facilitem a integração, calcular o determinante da matriz Jacobiana e ajustar os limites de integração para essas novas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos definir duas novas variáveis que aparecem nas desigualdades:
Essas escolhas são estratégicas porque simplificam as limitações da região . Agora, precisamos expressar , e em termos de e .
Passo 3
Para encontrar , e em função de e , vamos somar e subtrair as equações de e :
Adicionando e :
Subtraindo de :
Agora, vamos expressar em termos de e :
Ainda precisamos expressar . Para isso, podemos escolher uma terceira variável, digamos , mantendo a simplicidade.
Passo 4
Com as relações encontradas, temos:
Agora, precisamos calcular a matriz Jacobiana para encontrar como o volume se transforma ao mudarmos de para .
Passo 5
A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Aqui, estamos invertendo, então precisamos das derivadas de , , em relação a , , :
Agora, calculamos o determinante desse jacobiano.
Passo 6
Calculando o determinante da matriz Jacobiana:
Então, o valor absoluto do determinante é .
Passo 7
Agora, vamos reescrever a integral original em termos das novas variáveis , , :
Onde é a nova região de integração, que em termos de e é:
E não aparece nas desigualdades, o que implica que pode variar livremente dentro dos limites dados pelas relações.
Passo 8
Observamos que a integral não depende de , então a integração com relação a será simplesmente um fator constante. Portanto, podemos simplificar a integral para:
Mas como a integral não depende de , e assumindo que varia de a , o resultado seria infinito. Porém, geralmente, espera-se que seja limitado de alguma forma. Como o enunciado não especifica, vamos considerar que é fixo e focar na parte da integral que envolve e .