Calcule as seguintes integrais por mudança de variáveis integral triplaR x-y+2 zx+y-2 z d x d y d z onde R é dado por 0 <= x-y+2 z <= 1 e 1 <= x+y-2 z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando mudança de variáveis. O exercício pede para calcular:
integral triplaR x - y + 2zx + y - 2z , dx , dy , dz
Onde a região 0 <= x - y + 2z <= 1 1 <= x + y - 2z <= 2 é definida por:
Vamos usar o método de mudança de variáveis para simplificar essa integral. Precisamos identificar novas variáveis que facilitem a integração, calcular o determinante da matriz Jacobiana e ajustar os limites de integração para essas novas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos definir duas novas variáveis que aparecem nas desigualdades:
u = x - y + 2z v = x + y - 2z
Essas escolhas são estratégicas porque simplificam as limitações da região . Agora, precisamos expressar , e em termos de e .

Passo 3

Para encontrar u + v = (x - y + 2z) + (x + y - 2z) = 2x implies x = u + v2 , v - u = (x + y - 2z) - (x - y + 2z) = 2y - 4z implies y - 2z = v - u2 e y = 2z + v - u2 em função de e , vamos somar e subtrair as equações de e :
Adicionando e :
Subtraindo de :
Agora, vamos expressar em termos de e :
Ainda precisamos expressar . Para isso, podemos escolher uma terceira variável, digamos , mantendo a simplicidade.

Passo 4

Com as relações encontradas, temos:
x = u + v2 y = 2w + v - u2 z = w
Agora, precisamos calcular a matriz Jacobiana para encontrar como o volume se transforma ao mudarmos de para .

Passo 5

A matriz Jacobiana J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = 12 & 12 & 0 -12 & 12 & 2 0 & 0 & 1 é composta pelas derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Aqui, estamos invertendo, então precisamos das derivadas de , , em relação a , , :
Agora, calculamos o determinante desse jacobiano.

Passo 6

Calculando o determinante da matriz Jacobiana:
|J| = 12 & 12 & 0 -12 & 12 & 2 0 & 0 & 1 = (12 cdot 12 - 12 cdot -12) cdot 1 = (14 + 14) = 12
Então, o valor absoluto do determinante é .

Passo 7

Agora, vamos reescrever a integral original em termos das novas variáveis integral triplaR uv cdot | J | , du , dv , dw = integral triplaR' uv cdot 12 , du , dv , dw , 0 <= u <= 1 1 <= v <= 2 , :
Onde é a nova região de integração, que em termos de e é:
E não aparece nas desigualdades, o que implica que pode variar livremente dentro dos limites dados pelas relações.

Passo 8

Observamos que a integral não depende de integral0^1 integral1^2 uv cdot 12 , dv , du cdot (limites de w ) , então a integração com relação a será simplesmente um fator constante. Portanto, podemos simplificar a integral para:
Mas como a integral não depende de , e assumindo que varia de a , o resultado seria infinito. Porém, geralmente, espera-se que seja limitado de alguma forma. Como o enunciado não especifica, vamos considerar que é fixo e focar na parte da integral que envolve e .

Passo 9

Calculando a integral dupla:
12 integral0^1 integral1^2 uv , dv , du
Primeiro, integramos com respeito a 12 integral0^1 u ( ln v |1^2 ) , du = 12 integral0^1 u (ln 2 - ln 1) , du = 12 integral0^1 u ln 2 , du :
Como .

Passo 10

Agora, a integral fica:
ln 22 integral0^1 u , du = ln 22 ( u^22 |0^1 ) = ln 22 cdot 12 = ln 24

Resposta

O valor da integral é .

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