Calcule as seguintes integrais por mudança de variáveis onde é dado por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando mudança de variáveis. O exercício pede para calcular:
Onde a região é definida por:
Vamos usar o método de mudança de variáveis para simplificar essa integral. Precisamos identificar novas variáveis que facilitem a integração, calcular o determinante da matriz Jacobiana e ajustar os limites de integração para essas novas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos definir duas novas variáveis que aparecem nas desigualdades:
Essas escolhas são estratégicas porque simplificam as limitações da região . Agora, precisamos expressar , e em termos de e .

Passo 3

Para encontrar , e em função de e , vamos somar e subtrair as equações de e :
Adicionando e :
Subtraindo de :
Agora, vamos expressar em termos de e :
Ainda precisamos expressar . Para isso, podemos escolher uma terceira variável, digamos , mantendo a simplicidade.

Passo 4

Com as relações encontradas, temos:
Agora, precisamos calcular a matriz Jacobiana para encontrar como o volume se transforma ao mudarmos de para .

Passo 5

A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Aqui, estamos invertendo, então precisamos das derivadas de , , em relação a , , :
Agora, calculamos o determinante desse jacobiano.

Passo 6

Calculando o determinante da matriz Jacobiana:
Então, o valor absoluto do determinante é .

Passo 7

Agora, vamos reescrever a integral original em termos das novas variáveis , , :
Onde é a nova região de integração, que em termos de e é:
E não aparece nas desigualdades, o que implica que pode variar livremente dentro dos limites dados pelas relações.

Passo 8

Observamos que a integral não depende de , então a integração com relação a será simplesmente um fator constante. Portanto, podemos simplificar a integral para:
Mas como a integral não depende de , e assumindo que varia de a , o resultado seria infinito. Porém, geralmente, espera-se que seja limitado de alguma forma. Como o enunciado não especifica, vamos considerar que é fixo e focar na parte da integral que envolve e .

Passo 9

Calculando a integral dupla:
Primeiro, integramos com respeito a :
Como .

Passo 10

Agora, a integral fica:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Utilize o teste da integral ou o teste da -série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(f)
Encontre a linearização de no ponto . Use-a para estimar e compare com o valor obtido pela calculadora.
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
j)
Use a aproximação linear para estimar o valor. Compare com o valor dado por uma calculadora.