Encontre a linearização de no ponto . Use-a para estimar e compare com o valor obtido pela calculadora.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a *linearização* da função no ponto . Depois, vamos usar essa linearização para estimar o valor de e comparar com o valor que a calculadora dá. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é *linearização*. Basicamente, a linearização de uma função em um ponto é uma aproximação linear dessa função perto desse ponto. Isso é feito usando o plano tangente à superfície da função naquele ponto. A ideia é que, perto desse ponto, a função se comporta de forma quase linear.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto dado. Substituindo , e na função:
Então, .
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a , e .
- **Derivada parcial em relação a :**
No ponto :
- **Derivada parcial em relação a :**
No ponto :
- **Derivada parcial em relação a :**
No ponto :
Passo 5
Com esses valores em mãos, vamos montar a equação da linearização usando a fórmula do plano tangente:
Substituindo , , e os valores das derivadas:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixar mais clara:
Simplificando os termos constantes:
Passo 7
Agora, vamos usar essa linearização para estimar . Substituindo esses valores na equação da linearização:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 8
Para comparar, vamos calcular o valor real de usando uma calculadora:
Passo 9
Comparando os dois valores:
- **Aproximação pela linearização:**
- **Valor real:**
A diferença é bem pequena, mostrando que a linearização é uma boa estimativa próxima do ponto considerado.
Resposta
A linearização de no ponto é . Usando essa linearização, a estimativa de é , que está muito próxima do valor real de aproximadamente obtido pela calculadora.
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