Encontre a linearização de f(x, y, z) = (x * y) / z no ponto (2, 1, 2). Use-a para estimar f(2.05, 0.9, 2.01) e compare com o valor obtido pela calculadora.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a linearização da função no ponto . Depois, vamos usar essa linearização para estimar o valor de e comparar com o valor que a calculadora dá. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é linearização. Basicamente, a linearização de uma função em um ponto é uma aproximação linear dessa função perto desse ponto. Isso é feito usando o plano tangente à superfície da função naquele ponto. A ideia é que, perto desse ponto, a função se comporta de forma quase linear.

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto dado. Substituindo , e na função:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a , e .
  • Derivada parcial em relação a :
No ponto :
  • Derivada parcial em relação a :
No ponto :
  • Derivada parcial em relação a :
No ponto :

Passo 5

Com esses valores em mãos, vamos montar a equação da linearização usando a fórmula do plano tangente:
Substituindo , , e os valores das derivadas:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixar mais clara:
Simplificando os termos constantes:

Passo 7

Agora, vamos usar essa linearização para estimar . Substituindo esses valores na equação da linearização:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 8

Para comparar, vamos calcular o valor real de usando uma calculadora:

Passo 9

Comparando os dois valores:
  • Aproximação pela linearização:
  • Valor real:
A diferença é bem pequena, mostrando que a linearização é uma boa estimativa próxima do ponto considerado.

Resposta

A linearização de no ponto é . Usando essa linearização, a estimativa de é , que está muito próxima do valor real de aproximadamente obtido pela calculadora.

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