Encontre a linearização de
no ponto
. Use-a para estimar
e compare com o valor obtido pela calculadora.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a linearização da função
no ponto
. Depois, vamos usar essa linearização para estimar o valor de
e comparar com o valor que a calculadora dá. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é linearização. Basicamente, a linearização de uma função em um ponto é uma aproximação linear dessa função perto desse ponto. Isso é feito usando o plano tangente à superfície da função naquele ponto. A ideia é que, perto desse ponto, a função se comporta de forma quase linear.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto dado. Substituindo
,
e
na função:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
,
e
.
- Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
- Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
- Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Passo 5
Com esses valores em mãos, vamos montar a equação da linearização
usando a fórmula do plano tangente:
Substituindo
,
,
e os valores das derivadas:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixar mais clara:
Simplificando os termos constantes:
Passo 7
Agora, vamos usar essa linearização para estimar
. Substituindo esses valores na equação da linearização:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 8
Para comparar, vamos calcular o valor real de
usando uma calculadora:
Passo 9
Comparando os dois valores:
- Aproximação pela linearização:
- Valor real:
A diferença é bem pequena, mostrando que a linearização é uma boa estimativa próxima do ponto considerado.
Resposta
A linearização de
no ponto
é
. Usando essa linearização, a estimativa de
é
, que está muito próxima do valor real de aproximadamente
obtido pela calculadora.