Use a aproximação linear para estimar o valor. Compare com o valor dado por uma calculadora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar a aproximação linear para estimar o valor de
e depois comparar com o valor que a calculadora dá. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas e funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a aproximação linear funciona e aplicar isso à função de divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que vamos trabalhar. Nesse caso, queremos dividir dois números, então podemos pensar na função como:
Queremos estimar o valor de
. Para facilitar a conta, vamos escolher um ponto próximo onde a gente consegue calcular facilmente. Vamos usar
, porque tanto 4 quanto 8 são números redondos e fáceis de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função no ponto
:
Esse é o valor base para a nossa aproximação.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e a
. Isso nos ajuda a entender como pequenas variações em
e
afetam o valor de
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
No ponto
, temos:
Passo 5
Agora, vamos identificar as variações
e
:
Essas são as pequenas mudanças em
e
que precisamos considerar para a aproximação.
Passo 6
A fórmula da aproximação linear para uma função de duas variáveis é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Fazendo as contas:
Então, a aproximação linear nos dá
.
Passo 8
Vamos agora calcular o valor real usando a calculadora:
Resposta
Usando a aproximação linear, estimamos que
. Comparando com o valor da calculadora, que é aproximadamente
, vemos que a aproximação está bem próxima!
Exercícios relacionados
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
j)
j)
Calcule as seguintes integrais por mudança de variáveis
onde
é dado por
e
.
Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Suponha que o plano tangente a
em
tenha a equação
. Estime
.