Use a aproximação linear para estimar o valor. Compare com o valor dado por uma calculadora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar a aproximação linear para estimar o valor de e depois comparar com o valor que a calculadora dá. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas e funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a aproximação linear funciona e aplicar isso à função de divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que vamos trabalhar. Nesse caso, queremos dividir dois números, então podemos pensar na função como:
Queremos estimar o valor de . Para facilitar a conta, vamos escolher um ponto próximo onde a gente consegue calcular facilmente. Vamos usar , porque tanto 4 quanto 8 são números redondos e fáceis de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto :
Esse é o valor base para a nossa aproximação.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e a . Isso nos ajuda a entender como pequenas variações em e afetam o valor de .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
No ponto , temos:

Passo 5

Agora, vamos identificar as variações e :
Essas são as pequenas mudanças em e que precisamos considerar para a aproximação.

Passo 6

A fórmula da aproximação linear para uma função de duas variáveis é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Fazendo as contas:
Então, a aproximação linear nos dá .

Passo 8

Vamos agora calcular o valor real usando a calculadora:

Resposta

Usando a aproximação linear, estimamos que . Comparando com o valor da calculadora, que é aproximadamente , vemos que a aproximação está bem próxima!

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