Utilize o teste da integral ou o teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(f)
(f)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Integral ou o Teste da
-série, que são métodos comuns para analisar a convergência de séries numéricas. Precisamos entender qual teste se aplica melhor e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação dos testes. A expressão original é
. Podemos reescrever a raiz cúbica como potência:
Portanto, a série fica:
Passo 3
Agora, identificamos que a série está na forma de uma
-série, que é:
onde
é um número real. Para as
-séries, sabemos que:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
No nosso caso, o expoente de
é
, o que corresponde a
.
Passo 4
Aplicando o teste da
-série:
Como
é menor ou igual a 1, de acordo com o teste, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Encontre a linearização de
no ponto
. Use-a para estimar
e compare com o valor obtido pela calculadora.
Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
(f)
(f)
Calcule as seguintes integrais por mudança de variáveis
onde
é dado por
e
.
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
j)
j)