Utilize o teste da integral ou o teste da p-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(f) sumn=1^infty raiz[3]n^2n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Integral ou o Teste da -série, que são métodos comuns para analisar a convergência de séries numéricas. Precisamos entender qual teste se aplica melhor e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação dos testes. A expressão original é raiz[3]n^2 = n^23 . Podemos reescrever a raiz cúbica como potência:
sumn=1^infty n^23n = sumn=1^infty n^23 - 1 = sumn=1^infty n^-13
Portanto, a série fica:

Passo 3

Agora, identificamos que a série está na forma de uma sumn=1^infty 1n^p -série, que é:
onde é um número real. Para as -séries, sabemos que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso, o expoente de é , o que corresponde a .

Passo 4

Aplicando o teste da p = 13 <= 1 -série:
Como é menor ou igual a 1, de acordo com o teste, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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